Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания, если измерения равны $\sqrt{2}$, $5$, $1$

Допущение: Размеры прямоугольного параллелепипеда даны в порядке длина, ширина, высота: $AB = \sqrt{2}$, $AD = 5$, $BB_1 = 1$. Предположу, что требуется найти диагональ параллелепипеда $B_1D$ и синус угла между диагональю $B_1D$ и плоскостью основания $ABCD$. 1. Найдем диагональ основания $BD$. Треугольник $BAD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора: $$BD^2 = AB^2 + AD^2$$ $$BD^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2$$ $$BD^2 = 2 + 25$$ $$BD^2 = 27$$ $$BD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 2. Найдем диагональ параллелепипеда $B_1D$. Треугольник $B_1BD$ прямоугольный (так как $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания), поэтому по теореме Пифагора: $$B_1D^2 = BD^2 + BB_1^2$$ $$B_1D^2 = 27 + 1^2$$ $$B_1D^2 = 27 + 1$$ $$B_1D^2 = 28$$ $$B_1D = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$ 3. Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда $B_1D$ и плоскостью основания $ABCD$. Угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол $B_1DB$. В прямоугольном треугольнике $B_1BD$: $$\sin(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{B_1D}$$ $$\sin(\angle B_1DB) = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$$ **Ответ:** Диагональ параллелепипеда $B_1D = 2\sqrt{7}$, синус угла между диагональю параллелепипеда $B_1D$ и плоскостью его основания равен $\frac{\sqrt{7}}{14}$.