Решите уравнение: $\cos 2x + 2\sin (x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$

Question

Вопрос:

Решите уравнение: $\cos 2x + 2\sin (x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$

$Решите уравнение: $\cos 2x + 2\sin (x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Нам нужно решить уравнение: $$\cos 2x + 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 = 0$$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x$. Подставляем эти формулы в уравнение: $$1 - 2\sin^2 x + 2(-\cos x) + 1 = 0$$ $$1 - 2\sin^2 x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$2 - 2\sin^2 x - 2\cos x = 0$$ Разделим всё на 2: $$1 - \sin^2 x - \cos x = 0$$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$1 - (1 - \cos^2 x) - \cos x = 0$$ $$1 - 1 + \cos^2 x - \cos x = 0$$ $$\cos^2 x - \cos x = 0$$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $$\cos x (\cos x - 1) = 0$$ Это уравнение распадается на два простых уравнения: 1. $\cos x = 0$ Решения этого уравнения: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$ Решения этого уравнения: $$x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение: $\cos 2x + 2\sin (x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$

Ответ ассистента

Другие решения