Являются ли взаимно обратными числа $5\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{38}$?

1. Чтобы числа были взаимно обратными, их произведение должно быть равно 1. a) $$5\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{38} = \frac{38}{7} \cdot \frac{7}{38} = 1$$ Числа являются взаимно обратными. б) $$4\frac{1}{6} \cdot \frac{25}{6} = \frac{25}{6} \cdot \frac{25}{6} = \frac{625}{36} \neq 1$$ Числа не являются взаимно обратными. в) $$2\frac{1}{4} \cdot 0,2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{10} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{20} \neq 1$$ Числа не являются взаимно обратными. 2. а) $$1\frac{2}{3}x = \frac{3}{5}$$ $$\frac{5}{3}x = \frac{3}{5}$$ $$x = \frac{3}{5} : \frac{5}{3}$$ $$x = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$$ $$x = \frac{9}{25}$$ **Ответ: $x = \frac{9}{25}$** б) $$x \cdot 1\frac{7}{9} = 1\frac{2}{3}$$ $$x \cdot \frac{16}{9} = \frac{5}{3}$$ $$x = \frac{5}{3} : \frac{16}{9}$$ $$x = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{16}$$ $$x = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 16}$$ $$x = \frac{15}{16}$$ **Ответ: $x = \frac{15}{16}$** 3. Выполните действия: а) $$3\frac{1}{5} : (16 : 1\frac{1}{3})$$ Сначала посчитаем то, что в скобках: $$16 : 1\frac{1}{3} = 16 : \frac{4}{3} = 16 \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 4 \cdot 3 = 12$$ Теперь выполним деление: $$3\frac{1}{5} : 12 = \frac{16}{5} : 12 = \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{12} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$$ **Ответ: $\frac{4}{15}$** б) $$(1 - \frac{2}{5}) : (2\frac{6}{11} : \frac{56}{121})$$ Сначала посчитаем первую скобку: $$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$ Теперь посчитаем вторую скобку: $$2\frac{6}{11} : \frac{56}{121} = \frac{28}{11} : \frac{56}{121} = \frac{28}{11} \cdot \frac{121}{56}$$ $$ = \frac{28 \cdot 121}{11 \cdot 56} = \frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 2} = \frac{11}{2}$$ Теперь выполним деление результатов скобок: $$\frac{3}{5} : \frac{11}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 11} = \frac{6}{55}$$ **Ответ: $\frac{6}{55}$** 4. Чтобы найти периметр прямоугольной комнаты, нужно знать и длину, и ширину. Длина нам дана, а ширину мы можем найти из площади. Площадь $S = 19\frac{2}{7}$ м$^2$. Длина $a = 3\frac{3}{14}$ м. Найдем ширину $b$: $$b = S : a$$ $$b = 19\frac{2}{7} : 3\frac{3}{14}$$ Превратим смешанные дроби в неправильные: $$19\frac{2}{7} = \frac{19 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{133 + 2}{7} = \frac{135}{7}$$ $$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$$ Теперь посчитаем ширину $b$: $$b = \frac{135}{7} : \frac{45}{14} = \frac{135}{7} \cdot \frac{14}{45}$$ $$b = \frac{135 \cdot 14}{7 \cdot 45}$$ Сократим дроби: 135 делится на 45 (получается 3), 14 делится на 7 (получается 2). $$b = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$$ м. Теперь найдем периметр $P$: $$P = 2 \cdot (a + b)$$ $$P = 2 \cdot (3\frac{3}{14} + 6)$$ $$P = 2 \cdot (9\frac{3}{14})$$ $$P = 2 \cdot \frac{9 \cdot 14 + 3}{14}$$ $$P = 2 \cdot \frac{126 + 3}{14}$$ $$P = 2 \cdot \frac{129}{14}$$ $$P = \frac{2 \cdot 129}{14} = \frac{129}{7}$$ Выделим целую часть: $$\frac{129}{7} = 18\frac{3}{7}$$ м. **Ответ: $18\frac{3}{7}$ м**