5. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 115?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой функции Эйлера $\phi(n)$. 1. Нам нужно найти количество несократимых правильных дробей со знаменателем $115$. Правильная дробь $\frac{k}{115}$ является несократимой, если $k$ и $115$ взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель равен $1$ ($НОД(k, 115) = 1$), где $1 \le k < 115$. 2. Разложим число $115$ на простые множители: $115 = 5 \times 23$ 3. Количество чисел, взаимно простых с $n$ и меньших $n$, вычисляется по формуле: $\phi(n) = n \cdot (1 - \frac{1}{p_1}) \cdot (1 - \frac{1}{p_2}) \cdot ...$ 4. Подставим наши значения: $\phi(115) = 115 \cdot (1 - \frac{1}{5}) \cdot (1 - \frac{1}{23})$ $\phi(115) = 115 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{22}{23}$ 5. Вычислим: $115 \cdot \frac{4}{5} = 23 \cdot 4 = 92$ $92 \cdot \frac{22}{23} = 4 \cdot 22 = 88$ Ответ: 88