Вычислите значение выражения $\sin\frac{\pi}{4} + 3\cos\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{6} + \text{ctg}\frac{\pi}{3}$

1. Чтобы вычислить значение выражения, нужно найти значения каждой тригонометрической функции: $$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ $$\text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Теперь подставим эти значения в выражение: $$ \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} $$ $$ = \frac{\sqrt{2} + 3}{2} $$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{2} + 3}{2}$ 2. Чтобы вычислить значение выражения, нужно найти значения каждой тригонометрической функции: $$\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$$ $$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\text{tg}0 = 0$$ $$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$$ Теперь подставим эти значения в выражение: $$ 3 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = 3 + \sqrt{2} - 0 - 2 = 1 + \sqrt{2} $$ **Ответ:** $1 + \sqrt{2}$ 3. Чтобы вычислить значение выражения, нужно найти значения каждой тригонометрической функции: $$\sin\pi = 0$$ $$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$$ $$\sin 2\pi = 0$$ $$\text{tg}\pi = 0$$ Теперь подставим эти значения в выражение: $$ 0 - 0 + 2 \cdot 0 - 0 = 0 $$ **Ответ:** $0$ 4. Чтобы вычислить значение выражения, нужно найти значения каждой тригонометрической функции: $$\sin\frac{\pi}{2} = 1$$ $$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$$ $$\text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$$ Теперь подставим эти значения в выражение: $$ 3 \cdot (1)^2 - 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 4 \cdot (1)^2 + 3 \cdot (0)^2 = 3 \cdot 1 - 3 \cdot \frac{3}{4} - 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 $$ $$ = 3 - \frac{9}{4} - 4 + 0 = -1 - \frac{9}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{13}{4} $$ **Ответ:** $-\frac{13}{4}$