Решите уравнение x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1).

20. Реши уравнение $$x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1)$$ Сначала упростим левую часть, заметив, что $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$: $$x(x+1)^2 = 2(x+1)$$ Перенесём всё в левую часть: $$x(x+1)^2 - 2(x+1) = 0$$ Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки: $$(x+1)(x(x+1) - 2) = 0$$ Раскроем скобки внутри второй части: $$(x+1)(x^2 + x - 2) = 0$$ Теперь у нас два множителя. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $$x+1 = 0$$ $$x_1 = -1$$ 2. $$x^2 + x - 2 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдём его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_3 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$$ **Ответ: -2; -1; 1** 21. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Пусть $v$ — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки $v_т = 4$ км/ч. Когда лодка идёт против течения, её скорость равна $v - v_т = v - 4$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{77}{v - 4}$ часа. Когда лодка идёт по течению (обратный путь), её скорость равна $v + v_т = v + 4$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{77}{v + 4}$ часа. Известно, что на обратный путь затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Значит: $$t_{против} - t_{по} = 2$$ $$\frac{77}{v - 4} - \frac{77}{v + 4} = 2$$ Приведём дроби к общему знаменателю $(v - 4)(v + 4)$: $$\frac{77(v + 4) - 77(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 2$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{77v + 308 - 77v + 308}{v^2 - 16} = 2$$ $$\frac{616}{v^2 - 16} = 2$$ Умножим обе части уравнения на $v^2 - 16$ (при условии, что $v \ne 4$ и $v \ne -4$, что очевидно для скорости): $$616 = 2(v^2 - 16)$$ Разделим обе части на 2: $$308 = v^2 - 16$$ Перенесём -16 в левую часть: $$v^2 = 308 + 16$$ $$v^2 = 324$$ Извлечём квадратный корень: $$v = \sqrt{324}$$ $$v = 18$$ Скорость лодки не может быть отрицательной, поэтому $v = -18$ не подходит. Скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч. Проверим условие $v > v_т$, то есть $18 > 4$, что верно. **Ответ: 18 км/ч**