Даны окружность, точка A, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку M на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Допущение: Для построения возьмем произвольную окружность, точку A вне окружности и отрезок PQ. Чтобы построить точку M на окружности так, чтобы $AM = PQ$, нужно: 1. Начертить окружность с центром O и радиусом R. 2. Отметить точку A вне окружности. 3. Измерить длину отрезка PQ. 4. Построить окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка PQ. Эта окружность пересечет исходную окружность в одной или двух точках. Эти точки и будут искомыми точками M. :::div .chart-container @chart-1::: **Всегда ли задача имеет решение?** Нет, не всегда. Задача имеет решение, если окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка PQ, пересекается с исходной окружностью. Это происходит, когда расстояние от центра исходной окружности (O) до точки A удовлетворяет следующим условиям: 1. $|R - PQ| \le OA \le R + PQ$. 2. Если $OA < |R - PQ|$ или $OA > R + PQ$, то окружности не пересекаются, и задача не имеет решения. 3. Если $OA = R + PQ$ или $OA = |R - PQ|$, окружности касаются, и решение одно. 4. Если $|R - PQ| < OA < R + PQ$, окружности пересекаются в двух точках, и решений два.