На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что угол АОВ равен 56 градусам. Длина меньшей дуги АВ равна 99. Найдите длину большей дуги АВ.

10. На окружности с центром в точке $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 56^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 99. Найдите длину большей дуги $AB$. Меньшая дуга $AB$ соответствует центральному углу $\angle AOB = 56^\circ$. Длина этой дуги равна 99. Полная окружность соответствует углу $360^\circ$. Найдем величину центрального угла, соответствующего большей дуге $AB$: $$360^\circ - 56^\circ = 304^\circ$$ Длины дуг пропорциональны их центральным углам. Пусть $L_{большая}$ — длина большей дуги $AB$. Составим пропорцию: $$\frac{L_{большая}}{99} = \frac{304^\circ}{56^\circ}$$ Отсюда выразим $L_{большая}$: $$L_{большая} = 99 \cdot \frac{304}{56}$$ Упростим дробь $\frac{304}{56}$. Оба числа делятся на 8: $$304 \div 8 = 38$$ $$56 \div 8 = 7$$ Значит, $\frac{304}{56} = \frac{38}{7}$. Теперь подставим это в формулу для $L_{большая}$: $$L_{большая} = 99 \cdot \frac{38}{7} = \frac{99 \cdot 38}{7} = \frac{3762}{7}$$ Разделим 3762 на 7: $$3762 \div 7 \approx 537.428...$$ В условии не указано, до какого знака округлять. Обычно в таких задачах подразумевается точный или целочисленный ответ. Проверим, может ли быть другой подход. Так как $\angle AOB = 56^\circ$ и длина меньшей дуги 99, это означает, что на $1^\circ$ центрального угла приходится длина дуги $\frac{99}{56}$. Длина большей дуги будет равна: $(360 - 56) \cdot \frac{99}{56} = 304 \cdot \frac{99}{56}$. $$304 \cdot \frac{99}{56} = (8 \cdot 38) \cdot \frac{99}{(8 \cdot 7)} = \frac{38 \cdot 99}{7} = \frac{3762}{7}$$ Предположим, что в задаче нужно указать дробь или округлить до целого числа, но в данном случае число не делится нацело. Возможно, в условии подразумевалось, что нужно дать ответ в виде несократимой дроби или с округлением до определенного знака. Так как нет уточнений, дадим ответ в виде дроби. **Ответ:** $\frac{3762}{7}$