Решите уравнение методом введения новой переменной: $(x^2 + 2x)^2 - 5(x^2 + 2x) - 24 = 0$

Для решения этих уравнений мы будем использовать метод введения новой переменной. а) $(x^2 + 2x)^2 - 5(x^2 + 2x) - 24 = 0$ Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 5y - 24 = 0$$ Решаем квадратное уравнение относительно $y$: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$ $$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Теперь вернемся к замене $y = x^2 + 2x$: Случай 1: $y = 8$ $$x^2 + 2x = 8$$ $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$ $$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Случай 2: $y = -3$ $$x^2 + 2x = -3$$ $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$$ Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет. **Ответ к а): $x_1 = 2$, $x_2 = -4$** б) $(x^2 - x)^2 - 15(x^2 - x) - 100 = 0$ Пусть $z = x^2 - x$. Тогда уравнение примет вид: $$z^2 - 15z - 100 = 0$$ Решаем квадратное уравнение относительно $z$: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$$ $$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Теперь вернемся к замене $z = x^2 - x$: Случай 1: $z = 20$ $$x^2 - x = 20$$ $$x^2 - x - 20 = 0$$ Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$$ $$x_1 = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Случай 2: $z = -5$ $$x^2 - x = -5$$ $$x^2 - x + 5 = 0$$ Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$$ Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет. **Ответ к б): $x_1 = 5$, $x_2 = -4$**