Найти периметр прямоугольника $P_{ABCD}$ при заданных условиях.

1. Так как $BM \perp BC$ и $BM \perp AB$, то $BM$ перпендикулярна плоскости $ABCD$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBD$ (так как $BM \perp BD$): $DM = 8$, $\angle BDM = 30^\circ$. $\sin(\angle BDM) = \frac{BM}{DM} \implies BM = DM \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. $\cos(\angle BDM) = \frac{BD}{DM} \implies BD = DM \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. 3. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Диагональ $BD = 4\sqrt{3}$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (так как $BM \perp AB$): $\angle MAB = 45^\circ$. Так как $\triangle ABM$ прямоугольный и один из острых углов равен $45^\circ$, то он равнобедренный: $AB = BM$. $AB = 4$. 5. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ (угол $A$ равен $90^\circ$): $AB^2 + AD^2 = BD^2$. $4^2 + AD^2 = (4\sqrt{3})^2$. $16 + AD^2 = 16 \cdot 3$. $16 + AD^2 = 48$. $AD^2 = 48 - 16 = 32$. $AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. 6. Периметр прямоугольника $ABCD$ равен: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 4\sqrt{2}) = 8 \cdot (1 + \sqrt{2})$. **Ответ:** $8(1 + \sqrt{2})$