Решите уравнение $\left|\frac{4x}{x^2(x+1)} - \frac{5x+1}{x+2}\right| + |x^2 + x - 2| = 0$

Смотри, у нас тут сумма двух модулей, и она равна нулю. Мы знаем, что модуль числа всегда больше или равен нулю. Это значит, что если их сумма равна нулю, то каждый из модулей по отдельности должен быть равен нулю. Значит, нужно решить систему из двух уравнений: 1. $$\left|\frac{4x}{x^2(x+1)} - \frac{5x+1}{x+2}\right| = 0$$ 2. $$|x^2 + x - 2| = 0$$ Сначала разберёмся со вторым уравнением, оно проще: $$x^2 + x - 2 = 0$$ Ищем корни квадратного уравнения. Можно через дискриминант или по теореме Виета. Сумма корней равна -1, произведение -2. Это числа 1 и -2. $$x_1 = 1, x_2 = -2$$ Теперь перейдем к первому уравнению: $$\frac{4x}{x^2(x+1)} - \frac{5x+1}{x+2} = 0$$ Ограничения на $x$: знаменатели не должны быть равны нулю. То есть $x \neq 0$, $x \neq -1$, $x \neq -2$. Приведём дроби к общему знаменателю: $x^2(x+1)(x+2)$. $$\frac{4x(x+2) - (5x+1)x^2(x+1)}{x^2(x+1)(x+2)} = 0$$ Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $$4x(x+2) - (5x+1)x^2(x+1) = 0$$ $$4x^2 + 8x - (5x+1)(x^3+x^2) = 0$$ $$4x^2 + 8x - (5x^4 + 5x^3 + x^3 + x^2) = 0$$ $$4x^2 + 8x - 5x^4 - 6x^3 - x^2 = 0$$ $$-5x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 8x = 0$$ $$x(-5x^3 - 6x^2 + 3x + 8) = 0$$ Один корень уже есть $x=0$, но он не подходит из-за ограничений (знаменатель $x^2(x+1)$). Значит, нужно решить уравнение: $$-5x^3 - 6x^2 + 3x + 8 = 0$$ Проверим найденные ранее корни $x=1$ и $x=-2$ из второго уравнения. Для $x=1$: $$-5(1)^3 - 6(1)^2 + 3(1) + 8 = -5 - 6 + 3 + 8 = 0$$ Значит, $x=1$ является корнем этого уравнения и не нарушает ограничения. Для $x=-2$: $$-5(-2)^3 - 6(-2)^2 + 3(-2) + 8 = -5(-8) - 6(4) - 6 + 8 = 40 - 24 - 6 + 8 = 18 \neq 0$$ Значит, $x=-2$ не является корнем первого уравнения. Итак, единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям, это $x=1$. **Ответ:** $x=1$