Определите, какими цифрами на плане обозначены деревни и заполните таблицу.

1. Чтобы определить, какими цифрами на плане обозначены деревни, нужно внимательно прочитать описание каждого маршрута и сопоставить его с изображением. * **Богданово**: Дедушка отвозит Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. На схеме станция обозначена цифрой 3. Значит, Богданово — это 3. * **Ванютино**: Из Антоновки (1) в Богданово (3) можно поехать по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть на другое шоссе. То есть, между 1 и 3 есть промежуточная точка, от которой идёт ещё одно шоссе. Эта точка обозначена цифрой 4. Значит, Ванютино — это 4. * **Егорка**: Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, потом по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово. На схеме Егорка обозначена цифрой 2. * **Жилино**: Деревня Жилино обозначена цифрой 5. **Ответ: 3425** 2. Расстояние от Ванютино до Богданово по шоссе. Известно, что расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км. А расстояние от Доломино до Егорки — 4 км. Также известно, что шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники. На карте видно, что путь от Ванютино (4) до Богданово (3) по шоссе — это катет прямоугольного треугольника. Путь от Антоновки (1) до Ванютино (4) по шоссе — это тоже катет, и от Антоновки (1) до Богданово (3) по шоссе — гипотенуза. Из описания к заданию: расстояние от Ванютино до Жилино — 9 км. Расстояние от Жилино до Богданово — 12 км. Расстояние от Горюново до Ванютино — 15 км. Расстояние от Егорки до Ванютино — 12 км. Посмотрим на схему. От Ванютино (4) до Богданово (3) идет прямое шоссе. В задании даны расстояния: "От Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км." Если рассмотреть путь от Жилино до Богданово, это 12 км. Этот путь проходит по шоссе. Если путь от Ванютино до Жилино — 9 км. На схеме видно, что Жилино (5) находится на пути между Ванютино (4) и Богданово (3) по шоссе. Тогда расстояние от Ванютино (4) до Богданово (3) по шоссе: $$\text{Ванютино-Богданово} = \text{Ванютино-Жилино} + \text{Жилино-Богданово} = 9 \text{ км} + 12 \text{ км} = 21 \text{ км}$$ **Ответ: 21** 3. Найти расстояние от Антоновки до Богданово по прямой. Это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты — это шоссе от Антоновки (1) до Ванютино (4) и от Ванютино (4) до Богданово (3). Расстояние от Антоновки (1) до Ванютино (4) по шоссе — это один катет. Расстояние от Ванютино (4) до Богданово (3) по шоссе мы нашли в предыдущем пункте — 21 км. В описании сказано: "Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км". И также: "Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники". Если посмотреть на схему, то маршрут из Антоновки (1) в Доломино (это точка на просёлочной дороге от Ванютино (4)) — это катет. А от Доломино до Ванютино — другой катет. У нас есть расстояние от Антоновки (1) до Доломино. Если бы Доломино было прямо на шоссе от 1 до 4, это было бы проще. Давайте посмотрим на путь: "Путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово." Это значит, что от Антоновки (1) до Ванютино (4) и от Ванютино (4) до Богданово (3) — это катеты прямоугольного треугольника, где прямой угол в Ванютино (4). По описанию: "Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км". Доломино находится на просёлочной дороге. "Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе". Из этого не получается напрямую найти расстояние Антоновка (1) – Ванютино (4). Давайте используем другую информацию. Есть маршрут: "Из Антоновки в Богданово можно поехать по просёлочной дороге мимо реки". Этот путь на схеме обозначен пунктирной линией. Есть прямой маршрут: от Антоновки (1) до Богданово (3) по прямой. Если Антоновка (1) — это вершина прямоугольного треугольника, а Ванютино (4) — прямой угол. Тогда расстояние от Антоновки до Ванютино по шоссе (катет) и от Ванютино до Богданово по шоссе (катет). Нам нужно найти расстояние от Антоновки (1) до Ванютино (4) по шоссе. Известно, что от Егорки до Ванютино — 12 км. Давайте предположим, что деревни расположены так, что расстояние от Антоновки до Ванютино по шоссе равно 12 км (как от Антоновки до Доломино). Допущение: расстояние от Антоновки до Ванютино по шоссе равно 12 км. Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами: $a = 12 \text{ км}$ (от Антоновки до Ванютино) $b = 21 \text{ км}$ (от Ванютино до Богданово) $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 12^2 + 21^2$ $c^2 = 144 + 441$ $c^2 = 585$ $c = \sqrt{585} \approx 24,19 \text{ км}$ **Ответ: 24,19** 4. Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут напрямик? (по прямой) Скорость по шоссе — 50 км/ч, по просёлочным дорогам — 30 км/ч. Расстояние по прямой от Антоновки до Богданово мы нашли в предыдущем пункте: $c = \sqrt{585} \approx 24,19 \text{ км}$. Это расстояние по прямой, скорее всего, просёлочная дорога (или грунтовая). Допущение: "напрямик" означает по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч. Время = Расстояние / Скорость Время в часах $= 24,19 \text{ км} / 30 \text{ км/ч} \approx 0,806 \text{ часа}$ Переведём в минуты: Время в минутах $= 0,806 \text{ часа} \times 60 \text{ мин/ч} \approx 48,36 \text{ минут}$ **Ответ: 48,36** 5. На шоссе машина дедушки расходует 5,5 литра бензина на 100 км. Путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Егорку и Жилино мимо конюшни требуют один и тот же объем бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах? Найдем длину пути из Антоновки (1) до Богданово (3) через Ванютино (4) по шоссе: $L_1 = \text{Антоновка-Ванютино (по шоссе)} + \text{Ванютино-Богданово (по шоссе)}$ Мы допустили, что Антоновка-Ванютино = 12 км. Ванютино-Богданово = 21 км. $L_1 = 12 \text{ км} + 21 \text{ км} = 33 \text{ км}$ Теперь рассмотрим путь через Егорку и Жилино мимо конюшни: Антоновка (1) $\rightarrow$ Егорка (2) (по шоссе) Егорка (2) $\rightarrow$ Жилино (5) (по просёлочной дороге мимо конюшни) Жилино (5) $\rightarrow$ Богданово (3) (по шоссе) Найдем расстояния: * Антоновка (1) $\rightarrow$ Егорка (2) по шоссе: на схеме это расстояние $x$. Если рассмотреть треугольник, где 1-2 и 1-4 — катеты, а 2-4 — гипотенуза, то это сложнее. * Воспользуемся описанием: "Расстояние от Егорки до Ванютино — 12 км". "От Антоновки до Доломино равно 12 км". Посмотрим на второй путь: "Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово." На схеме Егорка (2) и Антоновка (1) расположены так, что 1-2 — это шоссе. 2-5 — просёлочная дорога (мимо конюшни). 5-3 — шоссе. Давайте определим длины участков: * Жилино (5) $\rightarrow$ Богданово (3) по шоссе = 12 км (из условия). * Егорка (2) $\rightarrow$ Жилино (5) по просёлочной дороге: На схеме видно, что этот участок является катетом прямоугольного треугольника, где 2-4 — гипотенуза (12 км от Егорки до Ванютино), а 4-5 — катет (9 км от Ванютино до Жилино). Тогда по теореме Пифагора для треугольника Егорка (2) - Жилино (5) - Ванютино (4): $2-4^2 = 2-5^2 + 4-5^2$ $12^2 = 2-5^2 + 9^2$ $144 = 2-5^2 + 81$ $2-5^2 = 144 - 81 = 63$ $2-5 = \sqrt{63} \approx 7,94 \text{ км}$ (это просёлочная дорога) * Антоновка (1) $\rightarrow$ Егорка (2) по шоссе: На схеме видно, что 1-2 — это катет прямоугольного треугольника, где 1-4 — катет (12 км, наше допущение), 2-4 — гипотенуза (12 км, из условия). Это значит, что треугольник 1-2-4 — прямоугольный, с катетами 1-2 и 1-4, и гипотенузой 2-4. Но если 1-4 = 12 км и 2-4 = 12 км, то это странно, так как гипотенуза должна быть больше катетов. Давайте перечитаем внимательно: "Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники". Пусть Антоновка — А, Богданово — Б, Ванютино — В, Егорка — Е, Жилино — Ж. Маршрут 1 (через Ванютино по шоссе): А $\rightarrow$ В $\rightarrow$ Б. АВ по шоссе. ВБ по шоссе. АВ = 12 км (допущение). ВБ = 21 км. Общая длина $L_1 = 12 + 21 = 33 \text{ км}$. Вся дорога по шоссе. Расход бензина на $L_1$: $33 \text{ км} \times (5,5 \text{ л} / 100 \text{ км}) = 1,815 \text{ л}$. Маршрут 2 (через Егорку и Жилино): А $\rightarrow$ Е (шоссе) $\rightarrow$ Ж (просёлок) $\rightarrow$ Б (шоссе). Длина участка ЕЖ (просёлок) = $\sqrt{63} \approx 7,94 \text{ км}$. Длина участка ЖБ (шоссе) = 12 км. Нам нужно найти длину участка АЕ (шоссе). Если 1-2 и 1-4 на схеме являются катетами. 2-4 — это гипотенуза. И 2-4 = 12 км (от Егорки до Ванютино). Если 1-4 = 12 км. Тогда $AE^2 + AB^2 = EB^2$, где $AB$ — это $1-4$. Тут явно обозначены на карте 1 (Антоновка), 4 (Ванютино), 2 (Егорка). Расстояние 2-4 = 12 км. На схеме путь 1-4-3 — это два отрезка шоссе, перпендикулярных друг другу в точке 4. Путь 1-2-5-3 — это 1-2 (шоссе), 2-5 (просёлок), 5-3 (шоссе). Если путь из Антоновки в Богданово через Ванютино полностью по шоссе, то $L_1 = 33 \text{ км}$. Расход $R_ш = 5,5 \text{ л} / 100 \text{ км}$. Бензин на $L_1$: $Б_1 = (33 / 100) \times 5,5 = 1,815 \text{ л}$. Второй путь: Длина шоссейных участков: АЕ + ЖБ = АЕ + 12 км. Длина просёлочного участка: ЕЖ = $\sqrt{63} \approx 7,94 \text{ км}$. Так как объем бензина одинаков, то: $Б_1 = Б_2$ $1,815 = ( (АЕ + 12) / 100 ) \times 5,5 + (7,94 / 100) \times R_п$, где $R_п$ — расход по просёлочным дорогам. Это уравнение с двумя неизвестными (АЕ и $R_п$). Нужно найти АЕ. Если рассмотреть треугольник А (1) - Е (2) - X (точка на горизонтальном шоссе от 1). Тогда $AX^2 + XE^2 = AE^2$. Давай попробуем определить АЕ из геометрии. Если 1-4 = 12, 2-4 = 12, то треугольник 1-2-4 не является прямоугольным с прямым углом в 4, если 1-2 не равно 0. Предположим, что деревня Антоновка (1) расположена на одной прямой шоссе с деревней Егорка (2), и они обе на одном шоссе, ведущем к Ванютино (4). Расстояние от Егорки до Ванютино — 12 км. Расстояние от Антоновки до Ванютино — 12 км (наше допущение). Если так, то Егорка (2) и Антоновка (1) совпадают, что не так. Давайте пересмотрим схему и условия. Пункты 1, 4, 3 расположены так, что 1-4 перпендикулярно 4-3. Тогда 1-4 - катет, 4-3 - катет. Длина 4-3 = 21 км. Длина 1-4: в условии нет прямого указания. Возьмем из контекста про Антоновку и Доломино. "Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км". Если Доломино находится на шоссе от 1 до 4, то 1-4 = 12 км. Итак, $L_1$ (Антоновка-Ванютино-Богданово по шоссе) $= 12 + 21 = 33 \text{ км}$. Бензин на $L_1 = 33 \text{ км} \times (5,5 \text{ л} / 100 \text{ км}) = 1,815 \text{ л}$. Теперь маршрут 2 (Антоновка-Егорка-Жилино-Богданово): Участок ЖБ (по шоссе) = 12 км. Участок ЕЖ (по просёлочной дороге) = $\sqrt{63} \approx 7,94 \text{ км}$. Осталось найти АЕ (по шоссе). На схеме видно, что 1, 2, 4 образуют прямоугольный треугольник, где 1-4 - катет, 1-2 - катет, 2-4 - гипотенуза. $1-4 = 12 \text{ км}$. $2-4 = 12 \text{ км}$. Значит, $1-2^2 + 1-4^2 = 2-4^2$ $1-2^2 + 12^2 = 12^2$ $1-2^2 + 144 = 144$ $1-2^2 = 0$. Это означает, что 1 и 2 совпадают, что невозможно. Значит, интерпретация схемы или расположение деревень не соответствует моей текущей логике. Давай еще раз посмотрим на текст: "Путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово." Это явно описывает прямой угол в Ванютино (4). Расстояния: * Антоновка (1) до Доломино = 12 км. * Доломино до Егорки = 4 км. * Егорка до Ванютино = 12 км. * Горюново до Ванютино = 15 км. * Ванютино до Жилино = 9 км. * Жилино до Богданово = 12 км. Из этого: Ванютино-Богданово (по шоссе) = Ванютино-Жилино + Жилино-Богданово = 9 + 12 = 21 км. Расход на $L_1$ = 1,815 л. Для второго пути: А $\rightarrow$ Е (шоссе) $\rightarrow$ Ж (просёлок) $\rightarrow$ Б (шоссе). Длина просёлка ЕЖ: в треугольнике Е-Ж-В (2-5-4) имеем $ЕВ = 12$, $ВЖ = 9$. Это катеты, а ЕЖ — гипотенуза? Нет, на схеме 2-4 это гипотенуза, 4-5 - катет, 2-5 - катет. Тогда $ЕВ^2 = ВЖ^2 + ЕЖ^2$. $12^2 = 9^2 + ЕЖ^2$ $144 = 81 + ЕЖ^2$ $ЕЖ^2 = 144 - 81 = 63$ $ЕЖ = \sqrt{63} \approx 7,94 \text{ км}$. Это просёлочная дорога. Теперь найдем АЕ. На схеме 1-2-4. Это прямоугольный треугольник. Прямой угол, судя по всему, в 1 (Антоновка) или 2 (Егорка) или 4 (Ванютино).. Если прямой угол в 1, то $АЕ^2 + АВ^2 = ЕВ^2$. Но $АВ$ это $1-4$. Если прямой угол в 4, то $А4^2 + 4Е^2 = АЕ^2$. Нет. $А4^2$ — это $1-4$. Нам дано расстояние от Егорки до Ванютино — 12 км. Это путь 2-4. И расстояние от Антоновки до Доломино — 12 км. Давай попробуем так: расстояние от Антоновки (1) до Егорки (2) по шоссе. На схеме это явно участок шоссе. Расстояние от Антоновки (1) до Ванютино (4) по шоссе — это тоже катет. На схеме точки 1, 4, 3 образуют прямоугольный треугольник, где 4 — вершина с прямым углом. Катеты 1-4 и 4-3. Гипотенуза 1-3. Катет 4-3 = 21 км. Катет 1-4. Смотри, "Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км". Доломино находится на просёлочной дороге от Ванютино. "Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино". Это очень запутанно. Если "Антоновка до Доломино равно 12 км" и это по шоссе, и Доломино на просёлочной дороге, то это нелогично. **Допущение:** В условии 12 км (расстояние от Антоновки до Доломино) и 12 км (расстояние от Егорки до Ванютино) — это длины отрезков на схеме. При этом, если 1-4 — это катет, и 2-4 — это гипотенуза, то 1-2 — это другой катет, $1-2 = \sqrt{12^2 - x^2}$. Давай считать, что 1-4 = 12 км (расстояние от Антоновки до Ванютино по шоссе). Это катет. Путь 1-4-3: $L_1 = 12 \text{ км (шоссе)} + 21 \text{ км (шоссе)} = 33 \text{ км}$. Бензин $Б_1 = (33 / 100) \times 5,5 = 1,815 \text{ л}$. Путь 1-2-5-3: АЕ + ЕЖ + ЖБ ЖБ = 12 км (шоссе). ЕЖ = 7,94 км (просёлок). Осталось найти АЕ (по шоссе). Расстояние Егорка до Ванютино = 12 км. Это отрезок 2-4. У нас есть треугольник 1-4-2. Если 1-4 — это катет (12 км), а 2-4 — это другой катет (12 км). Тогда 1-2 = $\sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144+144} = \sqrt{288} \approx 16,97 \text{ км}$. Это АЕ (шоссе). Тогда $L_2$ = АЕ (шоссе) + ЕЖ (просёлок) + ЖБ (шоссе) $L_2 = 16,97 \text{ км} + 7,94 \text{ км} + 12 \text{ км} = 36,91 \text{ км}$. Расход $Б_2 = ((16,97 + 12) / 100) \times 5,5 + (7,94 / 100) \times R_п$ $1,815 = (28,97 / 100) \times 5,5 + (7,94 / 100) \times R_п$ $1,815 = 0,2897 \times 5,5 + 0,0794 \times R_п$ $1,815 = 1,59335 + 0,0794 \times R_п$ $0,0794 \times R_п = 1,815 - 1,59335$ $0,0794 \times R_п = 0,22165$ $R_п = 0,22165 / 0,0794 \approx 2,79 \text{ л/100 км}$. **Ответ: 2,79** 6. Впишите правильный ответ. Найдите значение выражения $6,4 - 4,8$. $6,4 - 4,8 = 1,6$ **Ответ: 1,6**