Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Для решения задачи используем локальную теорему Муавра-Лапласа, так как число испытаний $n = 400$ большое. Дано: $n = 400$ (количество испытаний) $k = 104$ (количество наступлений события) $p = 0,2$ (вероятность наступления события в каждом испытании) Найдем вероятность ненаступления события $q$: $$q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$$ Найдем математическое ожидание (среднее количество наступлений события): $$np = 400 \times 0,2 = 80$$ Найдем дисперсию (или среднеквадратичное отклонение): $$\sqrt{npq} = \sqrt{400 \times 0,2 \times 0,8} = \sqrt{64} = 8$$ Вычислим значение $x$ по формуле: $$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{104 - 80}{8} = \frac{24}{8} = 3$$ Теперь используем функцию Гаусса $\phi(x)$, которая находится в таблицах (или вычисляется). Для $x = 3$, значение $\phi(3) \approx 0,0044$. Вероятность $P_n(k)$ наступления события ровно $k$ раз приближенно равна: $$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$$ $$P_{400}(104) \approx \frac{1}{8} \times 0,0044 = 0,125 \times 0,0044 = 0,00055$$ **Ответ:** $0,00055$