Решите уравнение $2 \cos x (1 - \sqrt{2} \cos x) + 2 \sin x + \sqrt{2} \sin 2x = -2\sqrt{2}$

Давай решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и упростим выражение: $$2 \cos x (1 - \sqrt{2} \cos x) + 2 \sin x + \sqrt{2} \sin 2x = -2\sqrt{2}$$ Раскрываем скобки: $$2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x + \sqrt{2} \sin 2x = -2\sqrt{2}$$ Мы знаем, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Подставим это в уравнение: $$2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x + \sqrt{2} (2 \sin x \cos x) = -2\sqrt{2}$$ $$2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x + 2\sqrt{2} \sin x \cos x = -2\sqrt{2}$$ Теперь сгруппируем слагаемые: $$(2 \cos x + 2 \sin x) + (-2\sqrt{2} \cos^2 x + 2\sqrt{2} \sin x \cos x) = -2\sqrt{2}$$ Вынесем общие множители: $$2 (\cos x + \sin x) - 2\sqrt{2} \cos x (\cos x - \sin x) = -2\sqrt{2}$$ Разделим всё уравнение на 2: $$(\cos x + \sin x) - \sqrt{2} \cos x (\cos x - \sin x) = -\sqrt{2}$$ Это уравнение сложно решить напрямую. Давай попробуем другой подход. Перенесём все члены в одну сторону: $$2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x + 2\sqrt{2} \sin x \cos x + 2\sqrt{2} = 0$$ Сгруппируем члены по $2\sqrt{2}$: $$2 \cos x + 2 \sin x + 2\sqrt{2} (1 - \cos^2 x + \sin x \cos x) = 0$$ Заменим $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $$2 \cos x + 2 \sin x + 2\sqrt{2} (\sin^2 x + \sin x \cos x) = 0$$ Вынесем $2 \sin x$ из скобок: $$2 \cos x + 2 \sin x + 2\sqrt{2} \sin x (\sin x + \cos x) = 0$$ Теперь вынесем общий множитель $2(\cos x + \sin x)$: $$2 (\cos x + \sin x) (1 + \sqrt{2} \sin x) = 0$$ Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: Случай 1: $\cos x + \sin x = 0$ Разделим на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, иначе $\sin x$ тоже будет равен 0, что невозможно): $$1 + \tan x = 0$$ $$\tan x = -1$$ $$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Случай 2: $1 + \sqrt{2} \sin x = 0$ $$\sqrt{2} \sin x = -1$$ $$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Можно заметить, что решения $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$ включают в себя $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$. А решения $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ можно объединить в $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$. Однако, для $\tan x = -1$, общая формула $x = \text{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. Это объединяет все решения из первого случая. Итак, решения: $$\begin{cases} x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$$ Но первое решение $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ уже включает в себя $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ (при $n$ нечётном) и $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ (при $n$ чётном). Значит, нужно просто перечислить найденные наборы решений. **Ответ:** $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$