В треугольнике ABC угол С равен 120°, AB = 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. Чтобы найти радиус описанной окружности около треугольника, мы можем использовать формулу $$R = \frac{a}{2 \sin A}$$, где $a$ — сторона треугольника, а $A$ — противолежащий ей угол. В нашем случае, дана сторона $AB = 18\sqrt{3}$ и угол $C = 120^\circ$. Угол $C$ противолежит стороне $AB$. Подставляем значения в формулу: $$R = \frac{18\sqrt{3}}{2 \sin 120^\circ}$$ Значение $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь подставим это значение обратно в формулу для $R$: $$R = \frac{18\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$$ **Ответ: 18** 2. Чтобы найти площадь квадрата, описанного около окружности, радиус которой равен 25, сначала нужно понять, что если квадрат описан вокруг окружности, то сторона квадрата равна диаметру этой окружности. Радиус окружности $r = 25$. Диаметр окружности $d = 2r = 2 \cdot 25 = 50$. Сторона квадрата $a = d = 50$. Площадь квадрата $S = a^2$. $$S = 50^2 = 2500$$ **Ответ: 2500** 3. Если в трапецию вписана окружность, то высота этой трапеции равна диаметру вписанной окружности. Радиус вписанной окружности $r = 36$. Высота трапеции $h = 2r = 2 \cdot 36 = 72$. **Ответ: 72** 4. Для нахождения площади треугольника, если известны его периметр, одна сторона и радиус вписанной окружности, можно использовать формулу: $$S = pr$$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности. Периметр треугольника $P = 54$. Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27$. Радиус вписанной окружности $r = 1$. Теперь подставим эти значения в формулу для площади: $$S = p \cdot r = 27 \cdot 1 = 27$$ **Ответ: 27**