Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AM = 8$, $BC = \sqrt{17}$, $MB \perp (ABC)$, $\angle AMB = 45^\circ$. Найти: $BD$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$. Поскольку $\angle AMB = 45^\circ$ и $\angle MBA = 90^\circ$ (поскольку $MB \perp (ABC)$), то $\triangle AMB$ является равнобедренным, и $MB = AB$. 2. Используя теорему Пифагора для $\triangle AMB$: $$AM^2 = AB^2 + MB^2$$ $$8^2 = AB^2 + AB^2$$ $$64 = 2AB^2$$ $$AB^2 = 32$$ $$AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Следовательно, $MB = 4\sqrt{2}$. 3. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC = \sqrt{17}$ и $AB = CD = 4\sqrt{2}$. 4. Для нахождения диагонали $BD$ в прямоугольнике $ABCD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$. По теореме Пифагора: $$BD^2 = BC^2 + CD^2$$ $$BD^2 = (\sqrt{17})^2 + (4\sqrt{2})^2$$ $$BD^2 = 17 + (16 \cdot 2)$$ $$BD^2 = 17 + 32$$ $$BD^2 = 49$$ $$BD = \sqrt{49}$$ $$BD = 7$$ **Ответ: 7**