Решите квадратное уравнение: $3x^2 - 7x + 4 = 0$

1) Решим уравнение $3x^2 - 7x + 4 = 0$. У нас $a=3$, $b=-7$, $c=4$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{4}{3}$, $x_2 = 1$ 2) Решим уравнение $5x^2 - 8x + 3 = 0$. У нас $a=5$, $b=-8$, $c=3$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ **Ответ:** $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{5}$ 3) Решим уравнение $2y^2 - 9y + 10 = 0$. У нас $a=2$, $b=-9$, $c=10$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ **Ответ:** $y_1 = \frac{5}{2}$, $y_2 = 2$ 4) Решим уравнение $5y^2 - 6y + 1 = 0$. У нас $a=5$, $b=-6$, $c=1$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ **Ответ:** $y_1 = 1$, $y_2 = \frac{1}{5}$ 5) Решим уравнение $3x^2 - 14x + 16 = 0$. У нас $a=3$, $b=-14$, $c=16$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{8}{3}$, $x_2 = 2$ 6) Решим уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$. У нас $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ **Ответ:** $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{1}{2}$ 7) Решим уравнение $3x^2 - 8x + 5 = 0$. У нас $a=3$, $b=-8$, $c=5$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{5}{3}$, $x_2 = 1$ 8) Решим уравнение $5x^2 + 9x + 4 = 0$. У нас $a=5$, $b=9$, $c=4$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 1}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$$ $$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 1}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$ **Ответ:** $x_1 = -\frac{4}{5}$, $x_2 = -1$ 9) Решим уравнение $36y^2 - 12y + 1 = 0$. У нас $a=36$, $b=-12$, $c=1$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$$ Так как $D = 0$, у нас будет один корень. Найдем его по формуле $y = \frac{-b}{2a}$: $$y = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$$ **Ответ:** $y = \frac{1}{6}$ 10) Решим уравнение $y^2 - 10y - 24 = 0$. У нас $a=1$, $b=-10$, $c=-24$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$y_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$y_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ **Ответ:** $y_1 = 12$, $y_2 = -2$ 11) Решим уравнение $x^2 + 6x - 19 = 0$. У нас $a=1$, $b=6$, $c=-19$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 36 + 76 = 112$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4\sqrt{7}}{2} = -3 + 2\sqrt{7}$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4\sqrt{7}}{2} = -3 - 2\sqrt{7}$$ **Ответ:** $x_1 = -3 + 2\sqrt{7}$, $x_2 = -3 - 2\sqrt{7}$ 12) Решим уравнение $x^2 - 22x - 23 = 0$. У нас $a=1$, $b=-22$, $c=-23$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-22) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$$ $$x_2 = \frac{-(-22) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ **Ответ:** $x_1 = 23$, $x_2 = -1$ 13) Решим уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. У нас $a=1$, $b=-7$, $c=12$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ **Ответ:** $x_1 = 4$, $x_2 = 3$ 14) Решим уравнение $x^2 - 10x + 25 = 0$. У нас $a=1$, $b=-10$, $c=25$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$$ Так как $D = 0$, у нас будет один корень. Найдем его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$: $$x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$$ **Ответ:** $x = 5$ 15) Решим уравнение $16x^2 - 8x + 1 = 0$. У нас $a=16$, $b=-8$, $c=1$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$$ Так как $D = 0$, у нас будет один корень. Найдем его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$: $$x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$ **Ответ:** $x = \frac{1}{4}$ 16) Решим уравнение $y^2 - 5y + 6 = 0$. У нас $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **Ответ:** $y_1 = 3$, $y_2 = 2$ 17) Решим уравнение $x^2 + 2x + 2 = 0$. У нас $a=1$, $b=2$, $c=2$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$$ Так как $D < 0$, действительных корней нет. **Ответ:** Нет действительных корней. 18) Решим уравнение $2x^2 + 8x + 32 = 0$. У нас $a=2$, $b=8$, $c=32$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 32 = 64 - 256 = -192$$ Так как $D < 0$, действительных корней нет. **Ответ:** Нет действительных корней. 19) Решим уравнение $x^2 - 12x = 36$. Перепишем его в стандартном виде $x^2 - 12x - 36 = 0$. У нас $a=1$, $b=-12$, $c=-36$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 144 + 144 = 288$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{288}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 12\sqrt{2}}{2} = 6 + 6\sqrt{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{288}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 12\sqrt{2}}{2} = 6 - 6\sqrt{2}$$ **Ответ:** $x_1 = 6 + 6\sqrt{2}$, $x_2 = 6 - 6\sqrt{2}$ 20) Решим уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$. У нас $a=1$, $b=-9$, $c=8$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ **Ответ:** $x_1 = 8$, $x_2 = 1$