Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315

1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение равно 315. Пусть первое число будет $x$, а второе число $y$. Тогда по условию задачи мы можем составить систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 36 \\ xy = 315 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 36 - x$. Подставим это во второе уравнение: $$ x(36 - x) = 315 $$ $$ 36x - x^2 = 315 $$ $$ x^2 - 36x + 315 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 315 $$ $$ D = 1296 - 1260 $$ $$ D = 36 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 $$ Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 6}{2} = \frac{42}{2} = 21 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 6}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$ Если $x_1 = 21$, то $y_1 = 36 - 21 = 15$. Если $x_2 = 15$, то $y_2 = 36 - 15 = 21$. **Ответ:** Числа 15 и 21. 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь треугольника равна 60 см². Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$. По условию задачи: Сумма катетов: $a + b = 23$ см Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ab = 60$ см² Из уравнения площади найдем произведение катетов: $$ ab = 2 \cdot 60 $$ $$ ab = 120 $$ Теперь у нас есть система уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 23 \\ ab = 120 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $b = 23 - a$. Подставим это во второе уравнение: $$ a(23 - a) = 120 $$ $$ 23a - a^2 = 120 $$ $$ a^2 - 23a + 120 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 $$ $$ D = 529 - 480 $$ $$ D = 49 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 $$ Найдем корни уравнения: $$ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$ $$ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ Если $a_1 = 15$, то $b_1 = 23 - 15 = 8$. Если $a_2 = 8$, то $b_2 = 23 - 8 = 15$. **Ответ:** Катеты равны 8 см и 15 см. 3. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина которого на 5 м больше ширины, а площадь его равна 1050 м². Найдите размеры спортивной площадки. Пусть ширина спортивной площадки будет $x$ метров. Тогда длина будет $(x + 5)$ метров. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину: $$ S = \text{длина} \times \text{ширина} $$ $$ 1050 = (x + 5)x $$ $$ 1050 = x^2 + 5x $$ $$ x^2 + 5x - 1050 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1050) $$ $$ D = 25 + 4200 $$ $$ D = 4225 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65 $$ Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-5 + 65}{2} = \frac{60}{2} = 30 $$ $$ x_2 = \frac{-5 - 65}{2} = \frac{-70}{2} = -35 $$ Ширина не может быть отрицательной, поэтому $x = 30$ м. Ширина: $x = 30$ м Длина: $x + 5 = 30 + 5 = 35$ м **Ответ:** Размеры спортивной площадки: ширина 30 м, длина 35 м. 4. Найдите размеры газона прямоугольной формы, если его площадь равна 1800 м², а одна сторона на 5 м больше другой. Пусть одна сторона газона будет $x$ метров. Тогда другая сторона будет $(x + 5)$ метров. Площадь прямоугольника: $$ S = \text{сторона}_1 \times \text{сторона}_2 $$ $$ 1800 = x(x + 5) $$ $$ 1800 = x^2 + 5x $$ $$ x^2 + 5x - 1800 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) $$ $$ D = 25 + 7200 $$ $$ D = 7225 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85 $$ Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40 $$ $$ x_2 = \frac{-5 - 85}{2} = \frac{-90}{2} = -45 $$ Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $x = 40$ м. Одна сторона: $x = 40$ м Другая сторона: $x + 5 = 40 + 5 = 45$ м **Ответ:** Размеры газона: 40 м на 45 м. 5. Разность двух чисел равна 14, и их произведение равно 120. Найдите эти числа. Пусть первое число будет $x$, а второе число $y$. По условию задачи мы можем составить систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 14 \\ xy = 120 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 14 + y$. Подставим это во второе уравнение: $$ (14 + y)y = 120 $$ $$ 14y + y^2 = 120 $$ $$ y^2 + 14y - 120 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) $$ $$ D = 196 + 480 $$ $$ D = 676 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 $$ Найдем корни уравнения: $$ y_1 = \frac{-14 + 26}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ $$ y_2 = \frac{-14 - 26}{2} = \frac{-40}{2} = -20 $$ Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 14 + 6 = 20$. Если $y_2 = -20$, то $x_2 = 14 + (-20) = -6$. **Ответ:** Числа 6 и 20, или -20 и -6.