Решите задачи из изображения.

1. Чтобы найти длину хорды, нужно использовать теорему Пифагора. Радиус окружности $R = 72$, расстояние от центра до хорды $d = 27$. Половина хорды $x$ будет равна: $$x = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{72^2 - 27^2} = \sqrt{5184 - 729} = \sqrt{4455} \approx 66,75$$ Длина хорды равна $2x$. **Ответ: $2\sqrt{4455}$ или приблизительно $133,5$ 2. Так как касательные $AB$ и $AC$ проведены из одной точки $A$ к окружности с центром $O$, то треугольник $ABO$ и $ACO$ — прямоугольные, а $OB$ и $OC$ — радиусы. Угол между касательными $BAC = 60°$. Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = AC$. $\angle BAO = \angle CAO = 60° / 2 = 30°$. В прямоугольном треугольнике $ABO$ имеем $\tan(\angle BAO) = OB / AB$. Радиус $OB = 8$. Тогда $AB = OB / \tan(30°) = 8 / (1/\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$. **Ответ: $8\sqrt{3}$ или приблизительно $13,85$ 3. Свойство пересекающихся хорд в окружности гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть $AP \cdot PC = BP \cdot PD$. Мы знаем $BP = 15$, $CP = 6$, $DP = 10$. $AP \cdot 6 = 15 \cdot 10$ $6AP = 150$ $AP = 150 / 6 = 25$ **Ответ: 25** 4. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними. Дуга $AB$ равна $56°$. Тогда угол $ABC = 56° / 2 = 28°$. **Ответ: 28** 5. Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. $AK^2 = AB \cdot AC$ Мы знаем $AB = 2$, $AC = 8$. $AK^2 = 2 \cdot 8$ $AK^2 = 16$ $AK = \sqrt{16} = 4$ **Ответ: 4** 6. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Основания равны $30$ и $16$. Средняя линия $L = (30 + 16) / 2 = 46 / 2 = 23$ **Ответ: 23**