Найти радиус закругления арки в сантиметрах по рисунку

1. Найдем радиус закругления арки. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной ширины кожуха и частью высоты кожуха. Ширина кожуха составляет 56 см, значит, половина ширины будет $$56 \div 2 = 28$$ см. Высота кожуха до центра арки 45 см. Пусть $x$ — это расстояние от центра арки до верхней части проема двери топки. Тогда по теореме Пифагора: $$(R - x)^2 + 28^2 = R^2$$ Из рисунка видно, что $R - x$ — это расстояние от центра окружности до верхней точки проёма дверцы, а вся высота от нижней части дверцы до верхней точки арки — 45 см. Нижняя часть дверцы находится на одном уровне с нижней частью кожуха. Значит, $R - (45 - R)$ = высота от центра до верхней части проёма дверцы. Или, проще: расстояние от центра дуги до верхней точки дверцы = $R - (45 - R)$. Пусть $h$ - высота от центра дуги до верхней части дверцы, тогда $h = R - (45 - R) = 2R - 45$. Тогда в прямоугольном треугольнике с катетами 28 и $2R-45$, гипотенузой будет $R$. Применяем теорему Пифагора: $$R^2 = (28)^2 + (2R - 45)^2$$ $$R^2 = 784 + 4R^2 - 180R + 2025$$ $$0 = 3R^2 - 180R + 2809$$ Это квадратное уравнение. Решим его: $$R = \frac{-(-180) \pm \sqrt{(-180)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2809}}{2 \cdot 3}$$ $$R = \frac{180 \pm \sqrt{32400 - 33708}}{6}$$ Мы получили отрицательное число под корнем, что означает, что такая конфигурация с центром окружности, лежащим ниже верхней границы дверцы, невозможна при данных размерах. Давайте пересмотрим рисунок и допущения. **Допущение**: Центр радиуса $R$ находится на одном уровне с нижней частью кожуха. В этом случае, высота от центра до верхней точки арки равна $R$. Расстояние от верхней точки дверцы до верхней точки арки равно $45 - (R - \text{половина высоты дверцы})$. Это сложно определить из рисунка. Давай попробуем другое допущение, которое чаще встречается в таких задачах, исходя из рисунка: 45 — это расстояние от нижней части кожуха до самой высокой точки арки, а 56 — ширина кожуха. Если $R$ — радиус арки, то его центр находится на оси симметрии кожуха. Представим прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в центре нижней стороны кожуха. Тогда координаты центра окружности будут $(0, R)$. Точки, лежащие на арке: - Верхняя точка арки имеет координаты $(0, 45)$. - Крайние точки арки имеют координаты $(28, R - x)$ и $(-28, R - x)$, где $x$ - расстояние от центра дуги до крайней верхней точки арки по вертикали. Если центр окружности $(0, y_c)$, то уравнение окружности: $x^2 + (y - y_c)^2 = R^2$. Верхняя точка арки: $(0, 45)$. Расстояние от центра $(0, y_c)$ до $(0, 45)$ равно $R$. Значит, $45 - y_c = R$, то есть $y_c = 45 - R$. Теперь рассмотрим точку на арке, которая находится сбоку. Её координаты $(28, ext{нижний край арки})$. Если нижний край арки находится на одном уровне с нижней частью кожуха, то её координаты $(28, 0)$. Тогда: $$(28)^2 + (0 - (45 - R))^2 = R^2$$ $$28^2 + (R - 45)^2 = R^2$$ $$784 + R^2 - 90R + 2025 = R^2$$ $$784 - 90R + 2025 = 0$$ $$2809 - 90R = 0$$ $$90R = 2809$$ $$R = \frac{2809}{90} \approx 31,21$$ Это более правдоподобный результат. **Ответ:** Радиус закругления арки $R \approx 31,21$ см. 6. Найти значение выражения $\frac{8,1}{1,8}$. $$\frac{8,1}{1,8} = \frac{81}{18}$$ Выполним деление: $$ \begin{array}{cc|l} 8 & 1 & 18 \\ \hline 7 & 2 & 4,5 \\ \hline & 9 & 0 \\ & 9 & 0 \\ \hline & & 0 \end{array} $$ **Ответ:** 4,5 7. На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам $\frac{9}{13}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{9}{25}$, $\frac{9}{7}$. Похоже, что есть опечатка в задании, так как две точки имеют одинаковое значение $\frac{9}{13}$. Предположим, что первое значение соответствует точке A, а третье значение соответствует точке B. Тогда имеем числа: A: $\frac{9}{13}$ B: $\frac{9}{25}$ C: $\frac{9}{7}$ Чтобы сравнить эти числа, можно привести их к общему знаменателю или перевести в десятичные дроби. $\frac{9}{13} \approx 0,69$ $\frac{9}{25} = 0,36$ $\frac{9}{7} \approx 1,29$ Из рисунка видно, что B находится левее A, а A левее C. Если A соответствует $\frac{9}{13}$ и B соответствует $\frac{9}{25}$, то это соответствует порядку на числовой прямой (0,36 < 0,69). Если D соответствует $\frac{9}{7}$. Тогда порядок такой: $\frac{9}{25} < \frac{9}{13} < \frac{9}{7}$. Точка B соответствует числу $\frac{9}{25}$. **Ответ:** 3