Решите неравенство $x^2 + 2x - 48 < 0$

Для решения неравенства $x^2 + 2x - 48 < 0$ сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-48$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Теперь, когда мы знаем корни, мы можем представить квадратный трехчлен в виде $(x - x_1)(x - x_2)$. То есть, $(x - (-8))(x - 6) = (x + 8)(x - 6)$. Неравенство принимает вид $(x + 8)(x - 6) < 0$. Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов. На числовой прямой отметим точки $-8$ и $6$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 6)$ и $(6; +\infty)$. Проверим знак выражения $(x + 8)(x - 6)$ в каждом интервале: 1. Интервал $(-\infty; -8)$: Возьмем, например, $x = -10$. Тогда $(-10 + 8)(-10 - 6) = (-2)(-16) = 32 > 0$. 2. Интервал $(-8; 6)$: Возьмем, например, $x = 0$. Тогда $(0 + 8)(0 - 6) = (8)(-6) = -48 < 0$. 3. Интервал $(6; +\infty)$: Возьмем, например, $x = 10$. Тогда $(10 + 8)(10 - 6) = (18)(4) = 72 > 0$. Нам нужно найти интервал, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервал $(-8; 6)$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** $(-8; 6)$