Вычислите значение выражения $1\frac{1}{22} \cdot 3\frac{2}{3} - \left(2\frac{5}{6} + 3\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{23}\right) \cdot \frac{3}{5}$.

1. Переводим смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{1}{22} = \frac{1 \cdot 22 + 1}{22} = \frac{23}{22}$$ $$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$$ $$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$$ $$3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{23}{6}$$ 2. Вычисляем произведение $1\frac{1}{22} \cdot 3\frac{2}{3}$: $$\frac{23}{22} \cdot \frac{11}{3} = \frac{23 \cdot 11}{22 \cdot 3} = \frac{23 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{23}{6}$$ 3. Вычисляем произведение $3\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{23}$: $$\frac{23}{6} \cdot \frac{7}{23} = \frac{23 \cdot 7}{6 \cdot 23} = \frac{7}{6}$$ 4. Складываем дроби в скобках: $$2\frac{5}{6} + 3\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{23} = \frac{17}{6} + \frac{7}{6} = \frac{17 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4$$ 5. Вычисляем произведение результата из скобок на $\frac{3}{5}$: $$4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$ 6. Вычитаем полученные значения: $$\frac{23}{6} - \frac{12}{5} = \frac{23 \cdot 5}{30} - \frac{12 \cdot 6}{30} = \frac{115}{30} - \frac{72}{30} = \frac{115 - 72}{30} = \frac{43}{30}$$ **Ответ:** $\frac{43}{30}$