Сократите дробь: $\frac{22p^4q^2}{99p^5q}$

1. Сократите дробь. a) $$\frac{22p^4q^2}{99p^5q} = \frac{2 \cdot 11 \cdot p^4 \cdot q^2}{9 \cdot 11 \cdot p^5 \cdot q} = \frac{2q}{9p}$$ б) $$\frac{7a}{a^2+5a} = \frac{7a}{a(a+5)} = \frac{7}{a+5}$$ в) $$\frac{x^2-y^2}{4x+4y} = \frac{(x-y)(x+y)}{4(x+y)} = \frac{x-y}{4}$$ 2. Представьте в виде дроби: a) $$\frac{y-20}{4y} + \frac{5y-2}{y^2} = \frac{(y-20)y}{4y^2} + \frac{(5y-2)4}{4y^2} = \frac{y^2-20y + 20y-8}{4y^2} = \frac{y^2-8}{4y^2}$$ б) $$\frac{1}{5c-d} - \frac{1}{5c+d} = \frac{(5c+d) - (5c-d)}{(5c-d)(5c+d)} = \frac{5c+d-5c+d}{25c^2-d^2} = \frac{2d}{25c^2-d^2}$$ в) $$\frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{a^2+5a} = \frac{7}{a+5} - \frac{7a-3}{a(a+5)} = \frac{7a}{a(a+5)} - \frac{7a-3}{a(a+5)} = \frac{7a - (7a-3)}{a(a+5)} = \frac{7a-7a+3}{a(a+5)} = \frac{3}{a(a+5)}$$ 3. Найдите значение выражения $$\frac{14b^2-c}{7b} - 2b$$ при $b=0,5$, $c=-14$. Сначала упростим выражение: $$\frac{14b^2-c}{7b} - 2b = \frac{14b^2}{7b} - \frac{c}{7b} - 2b = 2b - \frac{c}{7b} - 2b = -\frac{c}{7b}$$ Теперь подставим значения $b=0,5$ и $c=-14$: $$-\frac{-14}{7 \cdot 0,5} = -\frac{-14}{3,5} = 4$$ **Ответ: 4** 4. Упростите выражение $$\frac{5}{x^2-x} - \frac{2}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+2x+1} + \frac{21}{x^3-x^2-x+1}$$ Разложим знаменатели на множители: $x^2-x = x(x-1)$ $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ $x^2+2x+1 = (x+1)^2$ $x^3-x^2-x+1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x-1)(x^2-1) = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1)$ Тогда выражение примет вид: $$\frac{5}{x(x-1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x}{(x+1)^2} + \frac{21}{(x-1)^2(x+1)}$$ Общий знаменатель: $x(x-1)^2(x+1)^2$ Домножим каждую дробь на недостающие множители: $$\frac{5(x-1)(x+1)^2}{x(x-1)^2(x+1)^2} - \frac{2x(x-1)(x+1)}{x(x-1)^2(x+1)^2} + \frac{3x \cdot x(x-1)^2}{x(x-1)^2(x+1)^2} + \frac{21x(x+1)}{x(x-1)^2(x+1)^2}$$ Раскроем скобки в числителе: $5(x-1)(x^2+2x+1) = 5(x^3+2x^2+x-x^2-2x-1) = 5(x^3+x^2-x-1) = 5x^3+5x^2-5x-5$ $2x(x^2-1) = 2x^3-2x$ $3x^2(x^2-2x+1) = 3x^4-6x^3+3x^2$ $21x(x+1) = 21x^2+21x$ Соберем все в числителе: $$(5x^3+5x^2-5x-5) - (2x^3-2x) + (3x^4-6x^3+3x^2) + (21x^2+21x)$$ $$= 5x^3+5x^2-5x-5 - 2x^3+2x + 3x^4-6x^3+3x^2 + 21x^2+21x$$ $$= 3x^4 + (5-2-6)x^3 + (5+3+21)x^2 + (-5+2+21)x - 5$$ $$= 3x^4 - 3x^3 + 29x^2 + 18x - 5$$ Таким образом, упрощенное выражение: $$\frac{3x^4 - 3x^3 + 29x^2 + 18x - 5}{x(x-1)^2(x+1)^2}$$