Дано: $BM \perp BC$, $BM \perp AB$, $ABCD$ — прямоугольник, $DM = 8$, $\angle BDM = 30^\circ$, $\angle MAB = 45^\circ$. Найти $P_{ABCD}$.

Дано: $BM \perp BC$, $BM \perp AB$, $ABCD$ — прямоугольник, $DM = 8$, $\angle BDM = 30^\circ$, $\angle MAB = 45^\circ$. Найти $P_{ABCD}$. 1. Так как $BM \perp BC$ и $BM \perp AB$, то $BM$ перпендикулярна плоскости $ABCD$. Это значит, что треугольники $MBC$, $MBA$ и $MBD$ являются прямоугольными. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBD$. $DM = 8$, $\angle BDM = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $BM = \frac{1}{2} DM = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. 3. Теперь найдём $BD$ из треугольника $MBD$. $BD = DM \cdot \cos(\angle BDM) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAB$. $BM = 4$, $\angle MAB = 45^\circ$. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle AMB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, треугольник $MAB$ равнобедренный, и $AB = BM = 4$. 5. Теперь у нас есть диагональ $BD$ прямоугольника $ABCD$ и сторона $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (угол $\angle BAD = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $AD^2 = BD^2 - AB^2$ $AD^2 = (4\sqrt{3})^2 - 4^2 = (16 \cdot 3) - 16 = 48 - 16 = 32$ $AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. 6. Периметр прямоугольника $ABCD$ равен: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 4\sqrt{2}) = 8 + 8\sqrt{2}$. **Ответ:** $P_{ABCD} = 8 + 8\sqrt{2}$