Дано: $BM\perp BC$, $BM\perp AB$, $ABCD$ — прямоугольник, $DM=8$, $\angle BDM=30^\circ$, $\angle MAB=45^\circ$. Найти $P_{ABCD}$.

1. Так как $BM \perp BC$ и $BM \perp AB$, то $BM$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$. Значит, треугольник $BMD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. 2. Из прямоугольного треугольника $BMD$ и заданных значений $DM=8$ и $\angle BDM=30^\circ$ находим стороны $BM$ и $BD$: $BM = DM \cdot \sin(\angle BDM) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ $BD = DM \cdot \cos(\angle BDM) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ 3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MAB$. В нём $\angle MAB = 45^\circ$. Поскольку треугольник прямоугольный ($\angle MBA = 90^\circ$), то $\angle AMB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $MAB$ равнобедренный, и $AB = BM = 4$. 4. В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ связана со сторонами $AB$ и $AD$ соотношением Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2$ $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 + AD^2$ $16 \cdot 3 = 16 + AD^2$ $48 = 16 + AD^2$ $AD^2 = 48 - 16 = 32$ $AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ 5. Периметр прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 4\sqrt{2}) = 8 \cdot (1 + \sqrt{2})$ **Ответ:** $P_{ABCD} = 8(1 + \sqrt{2})$