Решите уравнение $\sqrt{3x+22} = 2-x$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите больший из корней.

Чтобы решить уравнение $\sqrt{3x+22} = 2-x$, нужно возвести обе части в квадрат. Но сначала нужно учесть два условия: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x+22 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -22 \Rightarrow x \ge -22/3 \Rightarrow x \ge -7 \frac{1}{3}$. 2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$. Объединяя эти условия, получаем: $-7\frac{1}{3} \le x \le 2$. Теперь возводим обе части уравнения в квадрат: $ (\sqrt{3x+22})^2 = (2-x)^2 $$ $ 3x+22 = 4 - 4x + x^2 $$ Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $ x^2 - 4x - 3x + 4 - 22 = 0 $$ $ x^2 - 7x - 18 = 0 $$ Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $$ $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) $$ $ D = 49 + 72 $$ $ D = 121 $$ Находим корни уравнения: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $ x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ $ x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$ Теперь проверяем, какие из полученных корней удовлетворяют условию $-7\frac{1}{3} \le x \le 2$: * Для $x_1 = 9$: $9 \le 2$ — это неверно, значит $x_1 = 9$ не является корнем исходного уравнения. * Для $x_2 = -2$: $-7\frac{1}{3} \le -2 \le 2$ — это верно, значит $x_2 = -2$ является корнем исходного уравнения. Уравнение имеет только один корень. Соответственно, этот корень и является наибольшим. **Ответ: -2**