Решите уравнение $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

1. Решите уравнение $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$. Сначала попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (это -2): $\pm 1, \pm 2$. Проверим $x = 1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень. Теперь поделим многочлен $x^3 + 2x^2 - x - 2$ на $(x - 1)$ с помощью деления столбиком или схемы Горнера. Используем деление столбиком: $$\begin{array}{cccc|l} x^3 & +2x^2 & -x & -2 & x-1 \\ \hline x^3 & -x^2 & & & x^2+3x+2 \\ \hline & 3x^2 & -x \\ & 3x^2 & -3x \\ \hline & & 2x & -2 \\ & & 2x & -2 \\ \hline & & & 0 \\ \end{array}$$ Получаем частное $x^2 + 3x + 2$. Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. Используем формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. Находим корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Итак, корни уравнения: $1, -1, -2$. **Ответ:** $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -2$.