Вычислите: а) $\frac{5}{12} \cdot \left(1\frac{1}{3} + \frac{3}{25}\right)$

1. Вычислите: а) $$\frac{5}{12} \cdot \left(1\frac{1}{3} + \frac{3}{25}\right)$$ Сначала выполним сложение в скобках. Переведем смешанную дробь в неправильную: $$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$$ Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю (НОК для 3 и 25 — это 75): $$\frac{4}{3} + \frac{3}{25} = \frac{4 \cdot 25}{3 \cdot 25} + \frac{3 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{100}{75} + \frac{9}{75} = \frac{100 + 9}{75} = \frac{109}{75}$$ Теперь умножим полученную сумму на $\frac{5}{12}$: $$\frac{5}{12} \cdot \frac{109}{75} = \frac{5 \cdot 109}{12 \cdot 75}$$ Сократим 5 и 75 на 5: $$\frac{1 \cdot 109}{12 \cdot 15} = \frac{109}{180}$$ **Ответ: а) $\frac{109}{180}$** б) $$5 - \left(3\frac{1}{20} - \frac{9}{25}\right) + \frac{1}{8}$$ Сначала выполним вычитание в скобках. Переведем смешанную дробь в неправильную: $$3\frac{1}{20} = \frac{3 \cdot 20 + 1}{20} = \frac{61}{20}$$ Теперь вычтем дроби, приведя их к общему знаменателю (НОК для 20 и 25 — это 100): $$\frac{61}{20} - \frac{9}{25} = \frac{61 \cdot 5}{20 \cdot 5} - \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{305}{100} - \frac{36}{100} = \frac{305 - 36}{100} = \frac{269}{100}$$ Теперь подставим это значение в выражение: $$5 - \frac{269}{100} + \frac{1}{8}$$ Приведем все к общему знаменателю (НОК для 1, 100 и 8 — это 200): $$\frac{5 \cdot 200}{200} - \frac{269 \cdot 2}{100 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 25}{8 \cdot 25} = \frac{1000}{200} - \frac{538}{200} + \frac{25}{200}$$ Теперь выполним сложение и вычитание: $$\frac{1000 - 538 + 25}{200} = \frac{462 + 25}{200} = \frac{487}{200}$$ Можно перевести в смешанную дробь: $$\frac{487}{200} = 2\frac{87}{200}$$ **Ответ: б) $\frac{487}{200}$ или $2\frac{87}{200}$** 2. $\frac{4}{7}$ всей площади заповедника — сосновые леса, остальная площадь 150 гектар — лиственные леса. Какова площадь заповедника? Пусть вся площадь заповедника будет $X$. Тогда сосновые леса занимают $\frac{4}{7}X$. Лиственные леса составляют оставшуюся часть: $$1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$$ Эта часть равна 150 гектарам. Значит, $\frac{3}{7}X = 150$ га. Чтобы найти $X$, разделим 150 на $\frac{3}{7}$: $$X = 150 \div \frac{3}{7} = 150 \cdot \frac{7}{3}$$ Сократим 150 и 3: $$X = 50 \cdot 7 = 350$$ **Ответ: 350 гектар** 3. Из 20 красных, 14 белых, 12 жёлтых и 34 розовых тюльпанов составили четыре букета. В каждом букете одинаковое количество тюльпанов. Сколько тюльпанов оказалось в каждом букете? Сначала найдем общее количество тюльпанов: $$20 + 14 + 12 + 34 = 80$$ тюльпанов. Эти 80 тюльпанов разделили на 4 букета поровну: $$\frac{80}{4} = 20$$ **Ответ: 20 тюльпанов** 4. Решите уравнение: $\frac{2}{3}x + \frac{2}{21}x - \frac{11}{21}x = 3\frac{1}{2}$ Сначала приведем дроби с $x$ к общему знаменателю (НОК для 3 и 21 — это 21): $$\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}x + \frac{2}{21}x - \frac{11}{21}x = 3\frac{1}{2}$$ $$\frac{14}{21}x + \frac{2}{21}x - \frac{11}{21}x = 3\frac{1}{2}$$ Сложим и вычтем коэффициенты при $x$: $$\left(\frac{14 + 2 - 11}{21}\right)x = 3\frac{1}{2}$$ $$\frac{5}{21}x = 3\frac{1}{2}$$ Переведем смешанную дробь в неправильную: $$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$$ Теперь уравнение выглядит так: $$\frac{5}{21}x = \frac{7}{2}$$ Чтобы найти $x$, разделим $\frac{7}{2}$ на $\frac{5}{21}$ (или умножим на обратную дробь): $$x = \frac{7}{2} \div \frac{5}{21} = \frac{7}{2} \cdot \frac{21}{5}$$ $$x = \frac{7 \cdot 21}{2 \cdot 5} = \frac{147}{10}$$ Можно перевести в десятичную дробь или смешанную: $$x = 14,7$$ или $$x = 14\frac{7}{10}$$ **Ответ: $x = 14,7$** 5. Ботинки на распродаже уценили на 40%, при этом они стали стоить 4200 рублей. Сколько рублей стоили ботинки до распродажи? Если ботинки уценили на 40%, то их новая цена составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной цены. Пусть $P$ — первоначальная цена ботинок. Тогда $60\%$ от $P$ равно 4200 рублей. $$0,60 \cdot P = 4200$$ Чтобы найти $P$, разделим 4200 на 0,60: $$P = \frac{4200}{0,60} = \frac{420000}{60} = \frac{42000}{6} = 7000$$ **Ответ: 7000 рублей** 6. На диаграмме показано среднее количество осадков за каждый месяц в Саратове. На вертикальной оси указано количество осадков (в миллиметрах), на горизонтальной — месяцы. Определите, сколько месяцев в году среднее количество осадков в Саратове больше 50 мм. Посмотрим на столбцы диаграммы, которые выше отметки 50 мм: * **Янв.** — около 58 мм (больше 50 мм) * Фев. — около 42 мм (меньше 50 мм) * **Март** — около 56 мм (больше 50 мм) * Апр. — около 40 мм (меньше 50 мм) * Май — около 48 мм (меньше 50 мм) * **Июнь** — около 57 мм (больше 50 мм) * Июль — около 46 мм (меньше 50 мм) * Авг. — около 48 мм (меньше 50 мм) * Сент. — около 43 мм (меньше 50 мм) * Окт. — около 38 мм (меньше 50 мм) * Нояб. — около 46 мм (меньше 50 мм) * **Дек.** — около 52 мм (больше 50 мм) Месяцы, где количество осадков больше 50 мм: Январь, Март, Июнь, Декабрь. Всего 4 месяца. **Ответ: 4 месяца**