Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 5 дней выполняет такую же работы, какую второй — за 3 дня?

Пусть вся работа будет равна 1. Пусть $x$ — время, за которое первый рабочий выполнит всю работу один. Пусть $y$ — время, за которое второй рабочий выполнит всю работу один. Производительность первого рабочего равна $\frac{1}{x}$. Производительность второго рабочего равна $\frac{1}{y}$. Известно, что два рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. Значит, их общая производительность равна $\frac{1}{9}$. Сумма их производительностей: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9}$$ Также известно, что первый рабочий за 5 дней выполняет такую же работу, какую второй за 3 дня. Это означает, что $5 \cdot \frac{1}{x} = 3 \cdot \frac{1}{y}$. Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$: $$\frac{5}{x} = \frac{3}{y} \implies y = \frac{3x}{5}$$ Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3x}{5}} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{1}{x} + \frac{5}{3x} = \frac{1}{9}$$ Приведём дроби к общему знаменателю $3x$: $$\frac{3}{3x} + \frac{5}{3x} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{3+5}{3x} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{8}{3x} = \frac{1}{9}$$ Умножим крест-на-крест: $$8 \cdot 9 = 3x \cdot 1$$ $$72 = 3x$$ $$x = \frac{72}{3}$$ $$x = 24$$ **Ответ: 24 дня**