Найдите AB

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. $$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$$ Угол $\angle DAC = 45^\circ$. Тогда: $$\angle ACD = 180^\circ - \angle DAC - \angle ADC = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ$$ Так как $\angle DAC = \angle ACD = 45^\circ$, то треугольник $\triangle ADC$ равнобедренный, и $AD = CD$. 2. Рассмотрим треугольник $\triangle ADB$. Угол $\angle ADB = 45^\circ$. 3. Рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Угол $\angle BDC = 45^\circ$. 4. Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ADC$: $$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$ $$\frac{AD}{\sin(45^\circ)} = \frac{10}{\sin(90^\circ)}$$ $$\frac{AD}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{1}$$ $$AD = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$$ Так как $AD = CD$, то $CD = 5\sqrt{2}$ см. 5. Рассмотрим треугольник $\triangle ADB$. У нас есть $AD = 5\sqrt{2}$ см, $\angle ADB = 45^\circ$, $\angle DAB = 45^\circ$. Значит $\triangle ADB$ тоже равнобедренный, и $AB=DB$. $$\angle ABD = 180^\circ - \angle DAB - \angle ADB = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$$ Таким образом, $\triangle ADB$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. По теореме Пифагора: $$AD^2 = AB^2 + DB^2$$ $$AD^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$$ $$AB^2 = \frac{AD^2}{2}$$ $$AB = \sqrt{\frac{(5\sqrt{2})^2}{2}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2}} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$ **Ответ: $AB = 5$ см.**