Вычислите: $(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$

Question

Вопрос:

Вычислите: $(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$

$Вычислите: $(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этого примера нам нужно раскрыть квадрат суммы. Формула квадрата суммы такая: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{5+\sqrt{21}}$ и $b = \sqrt{5-\sqrt{21}}$. 1. Найдём $a^2$: $$a^2 = (\sqrt{5+\sqrt{21}})^2 = 5+\sqrt{21}$$ 2. Найдём $b^2$: $$b^2 = (\sqrt{5-\sqrt{21}})^2 = 5-\sqrt{21}$$ 3. Найдём $2ab$: $$2ab = 2\sqrt{5+\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}}$$ Используем свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$: $$2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$$ Внутри корня у нас формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x=5$, $y=\sqrt{21}$. $$2\sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} = 2\sqrt{25 - 21} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$$ 4. Теперь подставим все части в формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(5+\sqrt{21}) + 4 + (5-\sqrt{21})$$ 5. Упростим выражение: $$5 + \sqrt{21} + 4 + 5 - \sqrt{21} = 5 + 4 + 5 + \sqrt{21} - \sqrt{21} = 14$$ **Ответ: 14**

Вычислите: $(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$

Ответ ассистента

Другие решения