Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

1. Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOD$ и $BOC$ равны соответственно $16 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции. ### Решение: У нас есть трапеция $ABCD$, её диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Даны площади двух треугольников: $S_{\triangle AOD} = 16 \text{ см}^2$ и $S_{\triangle BOC} = 9 \text{ см}^2$. Важное свойство трапеции гласит, что площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равны. То есть, $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$. Также известно, что для трапеции верно соотношение: $S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC} = S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD}$. Так как $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$, то $S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC} = (S_{\triangle AOB})^2$. Подставляем известные значения: $$16 \cdot 9 = (S_{\triangle AOB})^2$$ $$144 = (S_{\triangle AOB})^2$$ Чтобы найти $S_{\triangle AOB}$, возьмём квадратный корень: $$S_{\triangle AOB} = \sqrt{144}$$ $$S_{\triangle AOB} = 12 \text{ см}^2$$ Следовательно, $S_{\triangle COD} = 12 \text{ см}^2$. Площадь всей трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей всех четырёх треугольников, на которые её разбивают диагонали: $$S_{ABCD} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD}$$ $$S_{ABCD} = 16 + 9 + 12 + 12$$ $$S_{ABCD} = 49 \text{ см}^2$$ **Ответ:** $49 \text{ см}^2$