Найдите площадь трапеции, если площади треугольников AOD и ВОС равны соответственно 16 см² и 9 см².

Пусть $S_{AOD}$ и $S_{BOC}$ — площади треугольников $AOD$ и $BOC$ соответственно. Дано: $$S_{AOD} = 16\text{ см}^2$$ $$S_{BOC} = 9\text{ см}^2$$ У трапеции $ABCD$ треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны (углы $\angle DAO = \angle BCO$ и $\angle ADO = \angle CBO$ как накрест лежащие при параллельных основаниях $AD$ и $BC$ и секущих $AC$ и $BD$; углы $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$$ $$k^2 = \frac{16}{9} \implies k = \frac{4}{3}$$ Также, для трапеции известно, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, то есть $S_{AOB} = S_{COD}$. И, кроме того, выполняется свойство: $$S_{AOD} \cdot S_{BOC} = S_{AOB} \cdot S_{COD}$$ $$16 \cdot 9 = S_{AOB}^2$$ $$S_{AOB}^2 = 144$$ $$S_{AOB} = \sqrt{144} = 12\text{ см}^2$$ Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырёх треугольников: $$S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD}$$ $$S_{ABCD} = 16 + 9 + 12 + 12$$ $$S_{ABCD} = 49\text{ см}^2$$ **Ответ:** $49\text{ см}^2$