Решить геометрические задачи по преобразованию подобия и метрическим соотношениям в окружности.

1. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$. Угол $OCD$ равен $30^\circ$. Найдите величину угла $OAB$. Так как $OC$ и $OD$ — радиусы окружности, то треугольник $OCD$ равнобедренный, и углы при основании равны: $ \angle ODC = \angle OCD = 30^\circ $. Следовательно, $ \angle COD = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ $. \nУглы $ \angle AOB $ и $ \angle COD $ — вертикальные, поэтому $ \angle AOB = \angle COD = 120^\circ $. \nВ треугольнике $AOB$, $OA=OB$ как радиусы, значит, он равнобедренный. \nУглы при основании $AB$ равны: $ \angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ $. **Ответ:** $30^\circ$ 2. Найдите градусную меру $ \angle ACB $, если известно, что $BC$ является диаметром окружности, а градусная мера $ \angle AOC $ равна $96^\circ$. Поскольку $BC$ является диаметром, $ \angle BAC = 90^\circ $ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). \nТреугольник $AOC$ равнобедренный, так как $OA = OC$ (радиусы). \nСледовательно, $ \angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 96^\circ) / 2 = 84^\circ / 2 = 42^\circ $. \n$ \angle ACB = \angle OCB = \angle OCA = 42^\circ $. **Ответ:** $42^\circ$ 3. Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги, длины которых относятся как $9:11$. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах. Обозначим градусные меры дуг как $9x$ и $11x$. Сумма градусных мер двух дуг, на которые окружность делится двумя точками, равна $360^\circ$. \nТогда $9x + 11x = 360^\circ \Rightarrow 20x = 360^\circ \Rightarrow x = 18^\circ$. \nМеньшая дуга имеет градусную меру $9x = 9 \times 18^\circ = 162^\circ$. \nЦентральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. \nСледовательно, центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, равен $162^\circ$. **Ответ:** $162^\circ$ 4. В угол величиной $70^\circ$ вписана окружность, которая касается его сторон в точках $A$ и $B$. На одной из дуг этой окружности выбрали точку $C$ так, как показано на рисунке. Найдите величину угла $ACB$. Пусть вершина угла — $P$, а центр окружности — $O$. \nТак как окружность вписана в угол, $OA \perp PA$ и $OB \perp PB$. \nВ четырёхугольнике $PAOB$ сумма углов $ \angle P + \angle A + \angle O + \angle B = 360^\circ $. \n$ \angle A = \angle B = 90^\circ $, $ \angle P = 70^\circ $. \nТогда $ \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 110^\circ $. \nУгол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$, равен $ \angle AOB = 110^\circ $. \nВписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. \nПо рисунку видно, что точка $C$ лежит на большей дуге $AB$. Тогда угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$. \nМеньшая дуга $AB$ равна $110^\circ$. \nЗначит, $ \angle ACB = \angle AOB / 2 = 110^\circ / 2 = 55^\circ $. **Ответ:** $55^\circ$ 5. Радиус $OB$ окружности с центром в точке $O$ пересекает хорду $AC$ в точке $D$ и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды $AC$, если $BD = 1$ см, а радиус окружности равен $5$ см. Радиус $OB$ перпендикулярен хорде $AC$, значит, он делит хорду $AC$ пополам. То есть, $AD = DC$. \nТакже, если радиус перпендикулярен хорде, то он проходит через её середину. \nУ нас $OB = R = 5$ см. \n$OD = OB - BD = 5 - 1 = 4$ см. \nРассмотрим прямоугольный треугольник $ODA$ (так как $OB \perp AC$, то $OD \perp AD$). \nПо теореме Пифагора: $OA^2 = OD^2 + AD^2$. \n$OA$ — это радиус, $OA = R = 5$ см. \n$5^2 = 4^2 + AD^2$ \n$25 = 16 + AD^2$ \n$AD^2 = 25 - 16 = 9$ \n$AD = \sqrt{9} = 3$ см. \nДлина хорды $AC = 2 \times AD = 2 \times 3 = 6$ см. **Ответ:** $6$ см 6. Прямая касается окружности в точке $K$. Точка $O$ — центр окружности. Хорда $KM$ образует с касательной угол, равный $83^\circ$. Найдите величину угла $OMK$. Ответ дайте в градусах. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними. \nЗначит, дуга $KM = 2 \times 83^\circ = 166^\circ$. \nЦентральный угол $ \angle KOM $ равен градусной мере дуги $KM$, то есть $ \angle KOM = 166^\circ $. \nТреугольник $KOM$ равнобедренный, так как $OK = OM$ (радиусы). \nУглы при основании $KM$ равны: $ \angle OMK = \angle OKM $. \n$ \angle OMK = (180^\circ - 166^\circ) / 2 = 14^\circ / 2 = 7^\circ $. **Ответ:** $7^\circ$ 7. Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 18$, $CD = 24$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $12$. Пусть $r$ — радиус окружности. \nРасстояние от центра до хорды $AB$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на хорду. Пусть это расстояние $d_1 = 12$. Этот перпендикуляр делит хорду пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $AB/2 = 18/2 = 9$. \nПо теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом, половиной хорды $AB$ и расстоянием до неё: \n$r^2 = (AB/2)^2 + d_1^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. \n$r = \sqrt{225} = 15$. \nТеперь найдем расстояние от центра до хорды $CD$. Пусть это расстояние $d_2$. \nПоловина хорды $CD$ равна $CD/2 = 24/2 = 12$. \nИспользуем ту же теорему Пифагора: \n$r^2 = (CD/2)^2 + d_2^2$ \n$15^2 = 12^2 + d_2^2$ \n$225 = 144 + d_2^2$ \n$d_2^2 = 225 - 144 = 81$ \n$d_2 = \sqrt{81} = 9$. **Ответ:** $9$ 8. На отрезке $AB$ выбрана точка $C$ так, что $AC = 10$ и $BC = 16$. Построена окружность с центром $A$, проходящая через $C$. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки $B$ к этой окружности. Дан отрезок $AB = AC + BC = 10 + 16 = 26$. \nОкружность построена с центром $A$ и проходит через точку $C$. Значит, радиус окружности $R = AC = 10$. \nНам нужно найти длину отрезка касательной, проведенной из точки $B$ к этой окружности. \nПусть $T$ — точка касания. Тогда $AT \perp BT$. \n$AT$ — это радиус, $AT = R = 10$. \n$AB$ — расстояние от центра окружности до точки $B$. \nВ прямоугольном треугольнике $ATB$ (с прямым углом $T$): \n$AB^2 = AT^2 + BT^2$ \n$26^2 = 10^2 + BT^2$ \n$676 = 100 + BT^2$ \n$BT^2 = 676 - 100 = 576$ \n$BT = \sqrt{576} = 24$. \nДлина касательной $BT$ равна $24$. **Ответ:** $24$