1. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы $65^\circ$ и $50^\circ$.
Угол $ADC$ и угол $ABC$ — это противоположные углы параллелограмма, значит, они равны.
$$\angle ABC = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$$
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Значит, сумма углов $ADC$ и $ABC$ равна $180^\circ$. Нет, это не так. Углы, прилежащие к одной стороне, например, $A$ и $B$ дают в сумме $180^\circ$. Также $B$ и $C$, $C$ и $D$, $D$ и $A$.
Значит, $\angle DAB = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$
Меньший угол параллелограмма – это $\angle DAB$ или $\angle BCD$. $\angle BCD = \angle DAB = 65^\circ$.
**Ответ:** $65^\circ$
2. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $40^\circ$. Пусть углы $x$ и $y$ — это углы, прилежащие к одной стороне.
$x + y = 180^\circ$
$x - y = 40^\circ$
Сложим оба уравнения:
$$(x + y) + (x - y) = 180^\circ + 40^\circ$$
$$2x = 220^\circ$$
$$x = 110^\circ$$
Теперь найдем $y$:
$$110^\circ + y = 180^\circ$$
$$y = 180^\circ - 110^\circ$$
$$y = 70^\circ$$
Меньший угол из этих двух — это $70^\circ$.
**Ответ:** $70^\circ$
3. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $\angle ACB = 75^\circ$. На стороне $BC$ взяли точки $X$ и $Y$ так, что точка $X$ лежит между точками $B$ и $Y$, $AX = BX$ и $\angle BAX = \angle YAX$. Найдите длину отрезка $AY$, если $AX = 24$.
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Следовательно, $\angle BAC = \angle ACB = 75^\circ$.
Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ABC = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Так как $AX = BX$, треугольник $ABX$ — равнобедренный.
Следовательно, $\angle BAX = \angle ABX = \angle ABC = 30^\circ$.
Нам дано, что $\angle BAX = \angle YAX = 30^\circ$.
Значит, $\angle BAY = \angle BAX + \angle YAX = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $AXY$.
Угол $\angle AXY$ является внешним углом для треугольника $ABX$ при вершине $X$.
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Значит, $\angle AXY = \angle BAX + \angle ABX = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.
Теперь у нас есть треугольник $AXY$ с углами $\angle YAX = 30^\circ$ и $\angle AXY = 60^\circ$.
Сумма углов в треугольнике $AXY$ равна $180^\circ$.
Значит, $\angle AYX = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $AXY$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $Y$.
Нам дано $AX = 24$. В прямоугольном треугольнике $AXY$ напротив угла $30^\circ$ ($\angle YAX$) лежит катет $XY$. Напротив угла $60^\circ$ ($\angle AXY$) лежит катет $AY$. Гипотенуза $AX = 24$.
Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$$XY = \frac{1}{2} AX = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$
Теперь найдем $AY$ с помощью теоремы Пифагора или через синус/косинус.
Используем косинус угла $30^\circ$:
$$\cos(\angle YAX) = \frac{AY}{AX}$$
$$AY = AX \cdot \cos(30^\circ)$$
$$AY = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$AY = 12\sqrt{3}$$
**Ответ:** $12\sqrt{3}$
4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно $12$ и $13$.
Пусть один катет $a = 12$, а гипотенуза $c = 13$. Найдем второй катет $b$ с помощью теоремы Пифагора:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
$$12^2 + b^2 = 13^2$$
$$144 + b^2 = 169$$
$$b^2 = 169 - 144$$
$$b^2 = 25$$
$$b = \sqrt{25}$$
$$b = 5$$
Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 60$$
$$S = 30$$
**Ответ:** $30$
5. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображен ромб $ABCD$. Найдите его периметр.
На изображении ромб $ABCD$. Чтобы найти периметр, нужно найти длину одной стороны и умножить на 4, так как у ромба все стороны равны.
Возьмём сторону $AB$. Мы можем построить прямоугольный треугольник, где $AB$ — гипотенуза.
Катеты этого треугольника будут равны 3 и 4 клетки (посчитаем по клеткам).
По теореме Пифагора длина стороны $AB$:
$$AB^2 = 3^2 + 4^2$$
$$AB^2 = 9 + 16$$
$$AB^2 = 25$$
$$AB = \sqrt{25}$$
$$AB = 5$$
Периметр ромба $P = 4 \cdot AB$
$$P = 4 \cdot 5$$
$$P = 20$$
**Ответ:** $20$
