Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ равна 18 см. Середина $M$ на стороне $AB$ соединена с вершиной $D$. Найти отрезки, на которые делится площадь $ADC$ отрезком $DM$

1. Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника $ADC$ и $ABC$. Площадь каждого из них равна половине площади параллелограмма: $$S_{ADC} = S_{ABC} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ см}^2$$ 2. Точка $M$ — середина стороны $AB$. Отрезок $DM$ является медианой в треугольнике $ABD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, $S_{ADM} = S_{DBM} = \frac{S_{ABD}}{2}$. Но нам дана площадь параллелограмма, а не треугольника $ABD$. 3. Рассмотрим треугольник $ABC$. $BM$ — это половина $AB$, так как $M$ — середина $AB$. Треугольники $ADM$ и $DMC$ имеют общую высоту из вершины $D$ на сторону $AC$. Но это не самый простой путь. 4. Нам известно, что $M$ — середина $AB$. $DM$ пересекает $AC$ в точке $O$. 5. В параллелограмме $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам. Но $DM$ не является диагональю. 6. Рассмотрим треугольник $AB C$. $M$ - середина $AB$. 7. В треугольнике $ADC$, $DM$ делит $AC$ в точке $O$. Если мы рассматриваем треугольник $ABС$, то $M$ — середина $AB$. 8. Если $M$ — середина $AB$, то $DM$ — медиана треугольника $DAB$. Медиана $DM$ делит треугольник $DAB$ на два равновеликих треугольника: $S_{ADM} = S_{DBM}$. 9. Площадь треугольника $ABD$ равна половине площади параллелограмма $ABCD$. $$S_{ABD} = \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 18 = 9\text{ см}^2$$ 10. Тогда $S_{ADM} = \frac{1}{2}S_{ABD} = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5\text{ см}^2$. 11. Теперь рассмотрим треугольники $AOM$ и $DOC$. Они подобны по двум углам (вертикальные углы $\angle AOM = \angle DOC$, и накрест лежащие углы $\angle OAM = \angle OCD$). 12. Из подобия следует, что отношение площадей равно квадрату отношения сходственных сторон. Но нам нужно найти отношение отрезков $AO$ и $OC$. 13. Используем свойство медиан треугольника. Если $AC$ и $DB$ диагонали параллелограмма, то они пересекаются в середине $O'$. Тогда $DO'$ — медиана треугольника $DAC$. $AM$ — медиана треугольника $DAB$. 14. Но $DM$ не медиана $ADC$. 15. Рассмотрим треугольник $AB D$. $M$ — середина $AB$. 16. В параллелограмме $ABCD$, проведена диагональ $AC$. Точка $M$ на стороне $AB$. 17. Проведем диагональ $BD$. Точка $O'$ — середина $BD$ и $AC$. 18. В треугольнике $ABD$, $DM$ — медиана. Она делит его на два равновеликих треугольника. 19. Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $M$ — середина $AB$. 20. Применим теорему Менелая для треугольника $AB O'$ и секущей $DMC$. Но это тоже сложно. 21. Рассмотрим треугольник $ABС$. Площадь $ABC = 9$ см$^2$. Точка $M$ — середина $AB$. Отрезок $CM$ является медианой. 22. Рассмотрим треугольники $AOM$ и $CO D$. Они подобны, так как $AM \parallel DC$ (так как $AB \parallel DC$ и $M$ лежит на $AB$). 23. Отношение сторон $AM$ к $DC$ равно $1/2$ (так как $M$ — середина $AB$, и $AB = DC$). 24. Значит, $AO:OC = AM:DC = 1:2$. 25. Площади треугольников $AOD$ и $DOC$ с общей высотой из вершины $D$ относятся как основания $AO$ и $OC$. $$S_{AOD} : S_{DOC} = AO : OC = 1 : 2$$ 26. Площади треугольников $AOM$ и $MOC$ с общей высотой из вершины $M$ относятся как основания $AO$ и $OC$. $$S_{AOM} : S_{MOC} = AO : OC = 1 : 2$$ 27. Площадь треугольника $ADC = 9\text{ см}^2$. 28. Отрезок $DO$ делит треугольник $ADC$ на два треугольника $AOD$ и $DOC$. 29. Мы знаем, что $AO:OC = 1:2$. Значит, $AO = \frac{1}{3} AC$ и $OC = \frac{2}{3} AC$. 30. $S_{AOD} = \frac{1}{3} S_{ADC} = \frac{1}{3} \times 9 = 3\text{ см}^2$. 31. $S_{DOC} = \frac{2}{3} S_{ADC} = \frac{2}{3} \times 9 = 6\text{ см}^2$. 32. Площадь $ABCD = 18$ см$^2$. 33. Отрезок $DM$ делит параллелограмм на части. 34. Треугольник $AD M$ и трапеция $MBCD$. 35. Площадь треугольника $ADM = \frac{1}{2} \times AD \times h_{AD}$, где $h_{AD}$ — высота, опущенная на $AD$. 36. Пусть $h$ — высота параллелограмма, проведенная из $D$ к $AB$. Тогда $S_{ABCD} = AB \times h = 18$. 37. $S_{ADM} = \frac{1}{2} AM \times h$. Так как $AM = \frac{1}{2} AB$, то $S_{ADM} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} AB) \times h = \frac{1}{4} AB \times h = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \times 18 = 4.5\text{ см}^2$. 38. $S_{MBCD} = S_{ABCD} - S_{ADM} = 18 - 4.5 = 13.5\text{ см}^2$. 39. Теперь нужно понять, как отрезок $DM$ делит диагональ $AC$. 40. Треугольники $AOM$ и $COD$ подобны (как мы выяснили выше). Коэффициент подобия $k = AM/DC = (AB/2)/AB = 1/2$. 41. Тогда $AO/OC = AM/CD = 1/2$. 42. Площадь треугольника $ADC = 9\text{ см}^2$. 43. Отрезок $DM$ пересекает $AC$ в точке $O$. Значит, $AC$ делится на $AO$ и $OC$. 44. $S_{AOD} = \frac{1}{3} S_{ADC}$ (так как $AO = \frac{1}{3} AC$). $$S_{AOD} = \frac{1}{3} \times 9 = 3\text{ см}^2$$ 45. $S_{DOC} = \frac{2}{3} S_{ADC}$ (так как $OC = \frac{2}{3} AC$). $$S_{DOC} = \frac{2}{3} \times 9 = 6\text{ см}^2$$ 46. Отрезок $DM$ делит площадь $ADC$ на $S_{AOD}$ и $S_{DOC}$. Это не то. Отрезок $DM$ делит площадь **параллелограмма** $ABCD$ на несколько частей. 47. Мы уже нашли $S_{ADM} = 4.5\text{ см}^2$. 48. Осталось найти площадь треугольника $DCM$ и $BCM$. 49. Площадь треугольника $DBC$ равна $S_{ABC} = 9\text{ см}^2$. 50. Площадь трапеции $MBCD$ равна $13.5\text{ см}^2$. 51. Отрезок $DM$ делит площадь $ADC$ на $AOD$ и $DOC$. 52. Требуется найти площади, на которые делится площадь $ADC$ отрезком $DM$. 53. Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$. 54. Мы нашли отношение $AO:OC = 1:2$. 55. Площадь треугольника $ADC = 9\text{ см}^2$. 56. Треугольники $AOD$ и $DOC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $D$ на сторону $AC$. 57. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $$S_{AOD} : S_{DOC} = AO : OC = 1 : 2$$ 58. Значит, $S_{AOD} = \frac{1}{1+2} S_{ADC} = \frac{1}{3} S_{ADC} = \frac{1}{3} \times 9 = 3\text{ см}^2$. 59. И $S_{DOC} = \frac{2}{1+2} S_{ADC} = \frac{2}{3} S_{ADC} = \frac{2}{3} \times 9 = 6\text{ см}^2$. **Ответ:** Отрезок $DM$ делит диагональ $AC$ на отрезки $AO$ и $OC$ в отношении $1:2$. Площадь треугольника $ADC$ делится отрезком $DM$ на площади $S_{AOD} = 3\text{ см}^2$ и $S_{DOC} = 6\text{ см}^2$. Я понимаю, что здесь было много шагов, но это потому, что задача требовала рассмотреть несколько треугольников и их свойства.