Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде будет $x$ км/ч. Скорость течения реки $v_т = 3$ км/ч. Расстояние между пристанями $S = 140$ км. Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. Моторная лодка отправилась через 1 час после плота. За это время плот проплыл $3 \times 1 = 3$ км. Когда лодка прибыла в пункт B, плот проплыл 51 км. Это означает, что лодка дошла до пункта B, а затем вернулась в пункт A. За это время плот продолжал движение. Время, за которое плот проплыл 51 км, равно $t_{плот} = \frac{51}{3} = 17$ часов. Лодка находилась в движении $17 - 1 = 16$ часов (так как она отправилась на 1 час позже). Скорость лодки по течению: $v_{по течению} = x + 3$ км/ч. Скорость лодки против течения: $v_{против течения} = x - 3$ км/ч. Время, за которое лодка доплыла от A до B (по течению): $t_{AB} = \frac{140}{x+3}$. Время, за которое лодка доплыла от B до A (против течения): $t_{BA} = \frac{140}{x-3}$. Общее время движения лодки: $t_{лодка} = t_{AB} + t_{BA}$. Составим уравнение: $$ \frac{140}{x+3} + \frac{140}{x-3} = 16 $$ Умножим обе части уравнения на $(x+3)(x-3)$: $$ 140(x-3) + 140(x+3) = 16(x+3)(x-3) $$ $$ 140x - 420 + 140x + 420 = 16(x^2 - 9) $$ $$ 280x = 16x^2 - 144 $$ Разделим все на 16: $$ 17.5x = x^2 - 9 $$ $$ x^2 - 17.5x - 9 = 0 $$ Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$ 2x^2 - 35x - 18 = 0 $$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-35)^2 - 4 \times 2 \times (-18) $$ $$ D = 1225 + 144 $$ $$ D = 1369 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37 $$ Найдем корни уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_1 = \frac{35 + 37}{2 \times 2} = \frac{72}{4} = 18 $$ $$ x_2 = \frac{35 - 37}{2 \times 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 $$ Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 18$ км/ч. **Ответ:** 18 км/ч