Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а двугранный угол при основании равен 30°.

Дано: Апофема правильной треугольной пирамиды $l = 8$ см. Двугранный угол при основании $\alpha = 30^\circ$. Найти: Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой пирамиды, высотой основания (проекцией апофемы на основание) и высотой пирамиды. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, а угол при основании равен $30^\circ$. Высота основания ($h_o$) — это катет, противолежащий углу $30^\circ$, поэтому: $$h_o = l \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\text{ см}$$ **Допущение:** В условии задачи, скорее всего, имеется в виду, что двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и основанием. В этом случае $h_o$ — это радиус вписанной окружности в основание пирамиды (правильный треугольник). 2. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности ($r$) связан со стороной треугольника ($a$) формулой: $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$ Так как $h_o$ в нашем случае является радиусом вписанной окружности в основание, то $r = h_o = 4$ см. Найдем сторону основания $a$: $$a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}\text{ см}$$ 3. Площадь основания $S_{осн}$ (правильного треугольника) вычисляется по формуле: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 48\sqrt{3}\text{ см}^2$$ 4. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$$ Периметр основания $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см. $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 8 = 12\sqrt{3} \cdot 8 = 96\sqrt{3}\text{ см}^2$$ 5. Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 48\sqrt{3} + 96\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\text{ см}^2$$ **Ответ:** $144\sqrt{3}\text{ см}^2$