Найдите углы 1, 2, 3, 4 на рисунке 41, если $\angle 2 + \angle 4 = 220^\circ$

1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ – вертикальные, значит, они равны: $\angle 1 = \angle 3$. 2. Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ – вертикальные, значит, они равны: $\angle 2 = \angle 4$. 3. Сумма углов $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$ равна $360^\circ$: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ$. 4. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ – смежные, значит, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. a) Найти углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$, если $\angle 2 + \angle 4 = 220^\circ$. Поскольку $\angle 2 = \angle 4$, то $2 \cdot \angle 2 = 220^\circ$, откуда $\angle 2 = 110^\circ$. Так как $\angle 2 = \angle 4$, то $\angle 4 = 110^\circ$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, значит $\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Так как $\angle 1 = \angle 3$, то $\angle 3 = 70^\circ$. **Ответ: $\angle 1 = 70^\circ$, $\angle 2 = 110^\circ$, $\angle 3 = 70^\circ$, $\angle 4 = 110^\circ$.** б) Найти углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$, если $3(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$. Так как $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$, заменим их в уравнении: $3(\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 2$ $3(2 \cdot \angle 1) = 2 \cdot \angle 2$ $6 \cdot \angle 1 = 2 \cdot \angle 2$ $3 \cdot \angle 1 = \angle 2$ Также мы знаем, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ (смежные углы). Подставим $\angle 2 = 3 \cdot \angle 1$ во второе уравнение: $\angle 1 + 3 \cdot \angle 1 = 180^\circ$ $4 \cdot \angle 1 = 180^\circ$ $\angle 1 = 180^\circ / 4 = 45^\circ$. Теперь найдем остальные углы: $\angle 3 = \angle 1 = 45^\circ$. $\angle 2 = 3 \cdot \angle 1 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. $\angle 4 = \angle 2 = 135^\circ$. **Ответ: $\angle 1 = 45^\circ$, $\angle 2 = 135^\circ$, $\angle 3 = 45^\circ$, $\angle 4 = 135^\circ$.** в) Найти углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$, если $\angle 2 - \angle 1 = 30^\circ$. Мы знаем, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ (смежные углы). У нас получилась система уравнений: $$\begin{cases} \angle 2 - \angle 1 = 30^\circ \\ \angle 2 + \angle 1 = 180^\circ \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $(\angle 2 - \angle 1) + (\angle 2 + \angle 1) = 30^\circ + 180^\circ$ $2 \cdot \angle 2 = 210^\circ$ $\angle 2 = 210^\circ / 2 = 105^\circ$. Теперь найдем $\angle 1$ из первого уравнения: $\angle 1 = \angle 2 - 30^\circ = 105^\circ - 30^\circ = 75^\circ$. Найдем остальные углы: $\angle 3 = \angle 1 = 75^\circ$ (вертикальные). $\angle 4 = \angle 2 = 105^\circ$ (вертикальные). **Ответ: $\angle 1 = 75^\circ$, $\angle 2 = 105^\circ$, $\angle 3 = 75^\circ$, $\angle 4 = 105^\circ$.**