1. Найдите значение выражения:
а) $3\frac{4}{7} - 2\frac{3}{5}$
Чтобы вычесть смешанные числа, можно сначала вычесть целые части, а потом дробные. Если дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого, то нужно занять единицу у целой части.
$3\frac{4}{7} - 2\frac{3}{5} = (3-2) + (\frac{4}{7} - \frac{3}{5})$
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{5}$. Общий знаменатель — $7 \times 5 = 35$.
$\frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35}$
Теперь видно, что $\frac{20}{35} < \frac{21}{35}$, поэтому нужно взять единицу от целой части. Превратим $3\frac{4}{7}$ в $2\frac{7+4}{7} = 2\frac{11}{7}$ или $2 + \frac{35+20}{35} = 2 + \frac{55}{35}$.
Давай сделаем так: сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{4}{7} = \frac{3 \times 7 + 4}{7} = \frac{21+4}{7} = \frac{25}{7}$
$2\frac{3}{5} = \frac{2 \times 5 + 3}{5} = \frac{10+3}{5} = \frac{13}{5}$
Теперь вычтем эти дроби, приведя их к общему знаменателю $35$.
$\frac{25}{7} - \frac{13}{5} = \frac{25 \times 5}{7 \times 5} - \frac{13 \times 7}{5 \times 7} = \frac{125}{35} - \frac{91}{35} = \frac{125 - 91}{35} = \frac{34}{35}$
**Ответ: $\frac{34}{35}$**
б) $6\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$
Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить целые части отдельно и дробные части отдельно.
$6\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8} = (6+2) + (\frac{5}{6} + \frac{3}{8})$
Сложим целые части: $6+2=8$.
Теперь сложим дробные части: $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$. Найдем общий знаменатель для $6$ и $8$. Это $24$.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$
$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24}$
$\frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20+9}{24} = \frac{29}{24}$
Дробь $\frac{29}{24}$ неправильная, выделим целую часть: $\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.
Теперь сложим целые части: $8 + 1\frac{5}{24} = 9\frac{5}{24}$.
**Ответ: $9\frac{5}{24}$**
в) $4\frac{5}{14} + (5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21})$
Сначала выполним действие в скобках: $5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{1}{12} = \frac{5 \times 12 + 1}{12} = \frac{60+1}{12} = \frac{61}{12}$
$3\frac{4}{21} = \frac{3 \times 21 + 4}{21} = \frac{63+4}{21} = \frac{67}{21}$
Найдем общий знаменатель для $12$ и $21$. Разложим на простые множители:
$12 = 2^2 \times 3$
$21 = 3 \times 7$
НОК($12, 21$) = $2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84$.
Приведем дроби к общему знаменателю $84$:
$\frac{61}{12} = \frac{61 \times 7}{12 \times 7} = \frac{427}{84}$
$\frac{67}{21} = \frac{67 \times 4}{21 \times 4} = \frac{268}{84}$
Вычтем:
$\frac{427}{84} - \frac{268}{84} = \frac{427 - 268}{84} = \frac{159}{84}$
Выделим целую часть из $\frac{159}{84}$: $159 \div 84 = 1$ с остатком $159 - 84 = 75$.
Значит, $5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21} = 1\frac{75}{84}$. Дробь $\frac{75}{84}$ можно сократить на $3$ (так как $7+5=12$ делится на $3$, и $8+4=12$ делится на $3$).
$\frac{75 \div 3}{84 \div 3} = \frac{25}{28}$
Итак, выражение в скобках равно $1\frac{25}{28}$.
Теперь прибавим это к $4\frac{5}{14}$:
$4\frac{5}{14} + 1\frac{25}{28}$
Сложим целые части: $4+1=5$.
Сложим дробные части: $\frac{5}{14} + \frac{25}{28}$. Общий знаменатель $28$.
$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 2}{14 \times 2} = \frac{10}{28}$
$\frac{10}{28} + \frac{25}{28} = \frac{10+25}{28} = \frac{35}{28}$
Дробь $\frac{35}{28}$ неправильная. Выделим целую часть: $35 \div 28 = 1$ с остатком $35-28=7$.
Значит, $\frac{35}{28} = 1\frac{7}{28}$. Дробь $\frac{7}{28}$ можно сократить на $7$: $\frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}$.
Итак, сумма дробных частей равна $1\frac{1}{4}$.
Теперь сложим все вместе: $5 + 1\frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}$.
**Ответ: $6\frac{1}{4}$**
