12. Используя формулу S=absinα, где S - площадь параллелограмма (в м²), a, b - его стороны (в метрах), α - угол между этими сторонами, найдите сторону а в метрах, если площадь параллелограмма равна 63 м², вторая сторона - 7 м и sinα = 9/10

12. Используем формулу площади параллелограмма $S=ab \sin \alpha$. Нам даны $S=63\text{ м}^2$, $b=7\text{ м}$ и $\sin \alpha = \frac{9}{10}$. Подставляем известные значения в формулу: $$63 = a \cdot 7 \cdot \frac{9}{10}$$ Разделим обе части на 7: $$9 = a \cdot \frac{9}{10}$$ Умножим обе части на $\frac{10}{9}$: $$a = 9 \cdot \frac{10}{9}$$ $$a = 10$$ **Ответ: 10 м** 13. Решим неравенство $2 - 4(x - 3) < 7 - 3x$. Раскрываем скобки: $$2 - 4x + 12 < 7 - 3x$$ Приводим подобные слагаемые: $$14 - 4x < 7 - 3x$$ Переносим $x$ в одну сторону, числа — в другую: $$-4x + 3x < 7 - 14$$ $$-x < -7$$ Умножаем обе части на -1, меняя знак неравенства на противоположный: $$x > 7$$ Это соответствует интервалу $(7; +\infty)$. **Ответ: 3) $(7; +\infty)$** 14. В первом ряду 12 мест. В каждом следующем ряду на 4 места больше. Всего 18 рядов. Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 12$, разность $d = 4$, количество членов $n = 18$. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $$S_{18} = \frac{2 \cdot 12 + (18-1) \cdot 4}{2} \cdot 18$$ $$S_{18} = \frac{24 + 17 \cdot 4}{2} \cdot 18$$ $$S_{18} = \frac{24 + 68}{2} \cdot 18$$ $$S_{18} = \frac{92}{2} \cdot 18$$ $$S_{18} = 46 \cdot 18$$ Вычислим $46 \cdot 18$: $$46 \cdot 18 = 46 \cdot (10 + 8) = 46 \cdot 10 + 46 \cdot 8 = 460 + 368 = 828$$ **Ответ: 828 мест** 15. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Угол 1 и угол, смежный с углом 2, являются соответственными. Угол, смежный с углом 2, равен $180^\circ - \angle 2$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Угол 1 и угол 3 являются внутренними односторонними углами. Но нам даны $\angle 1$ и $\angle 2$, которые не являются односторонними или накрест лежащими напрямую. Посмотрим на рисунок. Прямая, которая пересекает параллельные прямые $a$ и $b$, образует углы. $\angle 1$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то накрест лежащие углы равны. Однако, по рисунку $\angle 1$ и $\angle 3$ не накрест лежащие. $\angle 1$ и $\angle A$ (угол, образованный пересечением прямой $a$ и другой наклонной прямой, там где $\angle 2$ и $\angle 3$) являются соответственными углами, если мы рассматриваем верхнюю наклонную и нижнюю параллельную прямую. Но это не так. Давайте рассмотрим углы. Угол 1 и угол, который вместе с углом 2 образует линейный угол, то есть $180^\circ - \angle 2$, являются внутренними односторонними углами. Это неверно. На рисунке $\angle 1$ и $\angle 2$ — это углы треугольника, образованного секущей и двумя параллельными прямыми $a$ и $b$, а $\angle 3$ — внешний угол для этого треугольника (смежный с одним из углов треугольника). Поскольку $a \parallel b$, то внутренние накрест лежащие углы равны. Пусть угол, который расположен между секущей и прямой $b$ в нижней левой части (напротив $\angle 3$), будет $\angle 4$. Тогда $\angle 1$ и $\angle 4$ являются накрест лежащими углами, поэтому $\angle 4 = \angle 1 = 79^\circ$. Угол $\angle 2$ и угол $\angle 3$ являются смежными, это не так. $\angle 2$ и $\angle 3$ образуют вместе с углом, который накрест лежащий с $\angle 1$, треугольник. Рассмотрим треугольник, образованный наклонной линией и параллельными прямыми $a$ и $b$. Пусть точка пересечения наклонной с прямой $a$ будет $P$, а с прямой $b$ будет $Q$. Пусть точка пересечения другой секущей с прямой $a$ будет $R$, а с прямой $b$ будет $S$. $\,\angle 1 = 79^\circ$, $\,\angle 2 = 65^\circ$. Угол, смежный с $\angle 1$, на прямой $a$ равен $180^\circ - 79^\circ = 101^\circ$. Угол 2 является внутренним углом треугольника. Угол 3 — это угол, который лежит вне треугольника, образованного секущими и параллельными прямыми. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Рассмотрим прямую, которая образует $\angle 1$ и $\angle 2$. Угол, накрест лежащий с $\angle 1$, будет равен $\angle 1 = 79^\circ$. Этот угол находится в той же точке на прямой $b$, где $\angle 3$. Или, угол, соответствующий $\angle 1$ (находящийся в том же месте, но на прямой $b$), равен $79^\circ$. Он является внешним углом по отношению к $\angle 3$ и углу, который внизу справа от $\angle 2$. Это сложно. Давай проще. Угол 1 и угол 3 являются накрест лежащими углами, образованными секущей и параллельными прямыми $a$ и $b$. Нет, это не так. По картинке $\angle 1$ и $\angle 3$ - это углы, связанные с треугольником. Пусть угол, лежащий слева от $\angle 2$ на прямой $b$, является $\angle A$. Тогда $\angle A$ и $\angle 1$ являются внутренними накрест лежащими углами. То есть $\angle A = \angle 1 = 79^\circ$. Теперь у нас есть треугольник, образованный пересечением двух секущих и параллельной прямой $b$. Углы этого треугольника: $\angle A = 79^\circ$ и $\angle 2 = 65^\circ$. Третий угол треугольника, обозначим его $\angle X$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $$\angle X = 180^\circ - (\angle A + \angle 2) = 180^\circ - (79^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$$ Угол $\angle 3$ и $\angle X$ являются смежными углами, так как вместе они образуют прямую линию. Поэтому их сумма равна $180^\circ$. $$\angle 3 = 180^\circ - \angle X = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$ **Ответ: 144 градуса** 16. В окружности с центром в точке $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$. Угол $ABO$ равен $71^\circ$. Найдите величину угла $CDO$. Поскольку $O$ — центр окружности, $OB$, $OA$, $OC$, $OD$ — радиусы. Следовательно, $OB = OA = OC = OD$. Треугольник $ABO$ является равнобедренным, так как $OA = OB$ (радиусы). Значит, углы при основании равны: $\angle BAO = \angle ABO = 71^\circ$. Треугольник $CDO$ также является равнобедренным, так как $OC = OD$ (радиусы). Значит, углы при основании равны: $\angle OCD = \angle CDO$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, так как $AD$ и $BC$ — диаметры, пересекающиеся в центре $O$. Вертикальные углы равны. В треугольнике $ABO$ сумма углов равна $180^\circ$: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAO + \angle ABO) = 180^\circ - (71^\circ + 71^\circ) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$. Так как $\angle COD = \angle AOB$, то $\angle COD = 38^\circ$. Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $CDO$. Сумма углов равна $180^\circ$: $\angle CDO + \angle OCD + \angle COD = 180^\circ$. Поскольку $\angle CDO = \angle OCD$, то $2 \cdot \angle CDO + \angle COD = 180^\circ$. $2 \cdot \angle CDO + 38^\circ = 180^\circ$. $2 \cdot \angle CDO = 180^\circ - 38^\circ$. $2 \cdot \angle CDO = 142^\circ$. $\angle CDO = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$. **Ответ: 71 градус** 17. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая сторона и основание соответственно равны 10 и 12. Дано: боковая сторона $a = 10$, основание $b = 12$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, $h$ — высота. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. Она делит основание на две равные части. Таким образом, у нас получится два прямоугольных треугольника с гипотенузой $a=10$ и одним катетом $b/2 = 12/2 = 6$. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $$h^2 + (b/2)^2 = a^2$$ $$h^2 + 6^2 = 10^2$$ $$h^2 + 36 = 100$$ $$h^2 = 100 - 36$$ $$h^2 = 64$$ $$h = \sqrt{64}$$ $$h = 8$$ Теперь найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8$$ $$S = 6 \cdot 8$$ $$S = 48$$ **Ответ: 48** 18. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображен ромб. Найдите длину его большей диагонали. По рисунку видно, что ромб расположен таким образом, что его диагонали параллельны линиям сетки. Большая диагональ ромба проходит по вертикали. Посчитаем количество клеток по вертикали для большей диагонали. Отсчитывая от верхней вершины ромба до нижней вершины, видим, что диагональ занимает 8 клеток. **Ответ: 8**