Решите уравнения.

Решим уравнения по очереди: а) $$\frac{x}{16} = \frac{32}{45}$$ Для того чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на $16$: $$x = \frac{32 \cdot 16}{45}$$ $$x = \frac{512}{45}$$ Выделим целую часть: $$x = 11\frac{17}{45}$$ **Ответ:** $x = 11\frac{17}{45}$ б) $$1\frac{4}{5} : x = \frac{8}{10}$$ Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$$ Уравнение будет выглядеть так: $$\frac{9}{5} : x = \frac{8}{10}$$ Чтобы найти делитель ($x$), нужно делимое ($\frac{9}{5}$) разделить на частное ($\frac{8}{10}$): $$x = \frac{9}{5} : \frac{8}{10}$$ При делении дробей вторая дробь переворачивается, а деление заменяется умножением: $$x = \frac{9}{5} \cdot \frac{10}{8}$$ Сократим дроби: $$x = \frac{9}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{8} = \frac{9 \cdot 2}{8} = \frac{18}{8}$$ Сократим дробь на 2: $$x = \frac{9}{4}$$ Выделим целую часть: $$x = 2\frac{1}{4}$$ **Ответ:** $x = 2\frac{1}{4}$ в) $$\frac{5}{9}x = \frac{1}{3}$$ Чтобы найти $x$, нужно разделить правую часть на коэффициент при $x$: $$x = \frac{1}{3} : \frac{5}{9}$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{5}$$ Сократим дроби: $$x = \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5} = \frac{3}{5}$$ **Ответ:** $x = \frac{3}{5}$ г) $$1\frac{1}{9}y + \frac{5}{6} = 1\frac{1}{2}$$ Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$$ $$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$$ Уравнение примет вид: $$\frac{10}{9}y + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$$ Перенесем $\frac{5}{6}$ в правую часть с противоположным знаком: $$\frac{10}{9}y = \frac{3}{2} - \frac{5}{6}$$ Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $6$: $$\frac{10}{9}y = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$$ $$\frac{10}{9}y = \frac{9}{6} - \frac{5}{6}$$ $$\frac{10}{9}y = \frac{9 - 5}{6}$$ $$\frac{10}{9}y = \frac{4}{6}$$ Сократим дробь $\frac{4}{6}$ на $2$: $$\frac{10}{9}y = \frac{2}{3}$$ Чтобы найти $y$, разделим правую часть на коэффициент при $y$: $$y = \frac{2}{3} : \frac{10}{9}$$ $$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10}$$ Сократим дроби: $$y = \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{10}^5} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5}$$ **Ответ:** $y = \frac{3}{5}$ д) $$\frac{4}{8}y = 1\frac{1}{4}$$ Сначала сократим дробь $\frac{4}{8}$ и переведем смешанную дробь в неправильную: $$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$$ Уравнение примет вид: $$\frac{1}{2}y = \frac{5}{4}$$ Чтобы найти $y$, разделим правую часть на коэффициент при $y$: $$y = \frac{5}{4} : \frac{1}{2}$$ $$y = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{1}$$ Сократим дроби: $$y = \frac{5}{\cancel{4}^2} \cdot \frac{\cancel{2}}{1} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}$$ Выделим целую часть: $$y = 2\frac{1}{2}$$ **Ответ:** $y = 2\frac{1}{2}$