Докажите равенство треугольников $ABC$ и $ADC$, если $BC = AD$ и $\angle 1 = \angle 2$. Найдите $\angle ACD$ и $\angle ADC$, если $\angle ABC = 108^\circ$ и $\angle BAC = 32^\circ$.

1. Чтобы доказать равенство треугольников $ABC$ и $ADC$, нужно рассмотреть их стороны и углы: * Сторона $AC$ — общая для обоих треугольников. * По условию $BC = AD$. * По условию $\angle 1 = \angle 2$. Это значит, что $\angle BCA = \angle DAC$. Так как две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Теперь найдём $\angle ACD$ и $\angle ADC$. Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует, что соответствующие углы равны: * $\angle BAC = \angle DCA$ * $\angle ABC = \angle ADC$ * $\angle BCA = \angle CAD$ Нам дано: * $\angle ABC = 108^\circ$ * $\angle BAC = 32^\circ$ Тогда: * $\angle ADC = \angle ABC = 108^\circ$ * $\angle ACD = \angle BAC = 32^\circ$ **Ответ:** $\angle ACD = 32^\circ$, $\angle ADC = 108^\circ$. 2. Докажем равенство треугольников $ACE$ и $ABD$. По условию: * $AC = AD$ * $AB = AE$ Угол $A$ ($\angle CAD$ или $\angle BAE$) — общий для обоих треугольников. Так как две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники $ACE$ и $ABD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Теперь найдём стороны $AB$ и $BD$, если $CE = 7$ см, $AE = 3$ см. Из равенства треугольников $ACE$ и $ABD$ следует, что соответствующие стороны равны: * $CE = BD$ * $AC = AD$ * $AE = AB$ Нам дано: * $CE = 7$ см * $AE = 3$ см Тогда: * $AB = AE = 3$ см * $BD = CE = 7$ см **Ответ:** $AB = 3$ см, $BD = 7$ см.