Мальчик на коньках разгоняется до скорости 11 м/с и вкатывается на ледяную горку. До какой высоты он сможет подняться, если коэффициент трения равен 0,1, а угол наклона горки к горизонту 45°?

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учётом работы силы трения. Дано: Начальная скорость $v_0 = 11\ \text{м/с}$ Коэффициент трения $\mu = 0,1$ Угол наклона горки $\alpha = 45^\circ$ Ускорение свободного падения $g \approx 9,8\ \text{м/с}^2$ Найти: высота $h$ Закон сохранения энергии: Начальная кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию на высоте $h$ и работу против силы трения. $$E_{к0} = E_{п} + A_{тр}$$ $$\frac{m v_0^2}{2} = mgh + F_{тр} \cdot L$$ где $L$ — путь, пройденный по наклонной плоскости. Из геометрии, $L = \frac{h}{\sin\alpha}$. Сила трения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости $N = mg\cos\alpha$. Значит, $F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$. Подставляем $F_{тр}$ и $L$ в уравнение сохранения энергии: $$\frac{m v_0^2}{2} = mgh + \mu mg\cos\alpha \cdot \frac{h}{\sin\alpha}$$ Делим все члены на $m$: $$\frac{v_0^2}{2} = gh + \mu g\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot h$$ $$\frac{v_0^2}{2} = gh + \mu g\operatorname{ctg}\alpha \cdot h$$ Выносим $gh$ за скобки: $$\frac{v_0^2}{2} = gh (1 + \mu \operatorname{ctg}\alpha)$$ Выражаем $h$: $$h = \frac{v_0^2}{2g(1 + \mu \operatorname{ctg}\alpha)}$$ Теперь подставляем значения: $\\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$ $$h = \frac{(11\ \text{м/с})^2}{2 \cdot 9,8\ \text{м/с}^2 (1 + 0,1 \cdot 1)}$$ $$h = \frac{121}{19,6 (1 + 0,1)}$$ $$h = \frac{121}{19,6 \cdot 1,1}$$ $$h = \frac{121}{21,56}$$ $$h \approx 5,61\ \text{м}$$ **Ответ:** $\approx 5,61\ \text{м}$