Найдите расстояние точки А от плоскости, если концы отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от плоскости на расстояния 75 и 45 см, а отрезок делится точкой А в отношении 7:3. Рассмотрите 2 случая.

Обозначим концы отрезка как $B_1$ и $B_2$. Пусть $h_1 = 75$ см и $h_2 = 45$ см — расстояния от концов отрезка до плоскости. Отрезок $B_1B_2$ не пересекает плоскость, значит, концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости. Точка $A$ делит отрезок $B_1B_2$ в отношении 7:3, то есть $B_1A : AB_2 = 7 : 3$. Рассмотрим проекции точек $B_1$, $B_2$, $A$ на плоскость. Пусть это будут точки $B_1'$, $B_2'$, $A'$. Тогда $B_1B_1' = h_1$, $B_2B_2' = h_2$. Нам нужно найти расстояние $AA' = h_A$. Построим прямую, проходящую через $B_1$ и $B_2$. Проведём через $B_1$ прямую, параллельную плоскости, до пересечения с отрезком $B_2B_2'$ в точке $C_2$. Тогда $B_1B_1'B_2'C_2$ — прямоугольник, и $B_1C_2 = B_1'B_2'$. Через $A$ также проведём прямую, параллельную плоскости, до пересечения с отрезком $B_2B_2'$ в точке $C_A$. Тогда $AA' = B_1C_A$. Рассмотрим подобные треугольники. **Случай 1:** Точка $A$ лежит между $B_1$ и $B_2$. Треугольники $B_1CA$ и $B_1DB_2$ (где $D$ — точка на $B_2B_2'$, такая что $B_1D$ параллельна плоскости) подобны. В этом случае $B_1A : AB_2 = 7 : 3$. Значит, $B_1A = 7x$, $AB_2 = 3x$, а $B_1B_2 = 10x$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $h_A$ можно найти по формуле для отрезка, делящего стороны трапеции (или просто используя подобие треугольников): $$h_A = \frac{AB_2 \cdot h_1 + B_1A \cdot h_2}{AB_2 + B_1A}$$ $$h_A = \frac{3 \cdot 75 + 7 \cdot 45}{3 + 7}$$ $$h_A = \frac{225 + 315}{10}$$ $$h_A = \frac{540}{10}$$ $$h_A = 54$$ **Случай 2:** Точка $A$ лежит на продолжении отрезка $B_1B_2$. (Хотя условие "Отрезок делится точкой А в отношении 7:3" обычно подразумевает внутреннее деление, рассмотрим и внешний случай, как просят "2 случая".) Предположим, что $B_1$ находится ближе к плоскости (или $B_2$ ближе, неважно, главное, что $A$ вне отрезка). Если точка $A$ лежит вне отрезка $B_1B_2$, и $B_1A : AB_2 = 7 : 3$. Это означает, что $A$ находится за $B_2$. Тогда $B_1A = 7k$, $AB_2 = 3k$. Отсюда $B_1B_2 = B_1A - AB_2 = 7k - 3k = 4k$. Значит, $AB_2 = \frac{3}{4} B_1B_2$. В этом случае мы можем использовать ту же формулу, но с учетом знаков или положения точек. Или же рассмотреть подобие треугольников, где $A$ будет вершиной, а $B_1$ и $B_2$ на сторонах. Проведем через $B_1$ прямую, параллельную плоскости, до пересечения с $AA'$ в точке $X$ и с $B_2B_2'$ в точке $Y$. Тогда $B_1B_1' = h_1$, $AA' = h_A$, $B_2B_2' = h_2$. Треугольники $B_1X A$ и $B_1Y B_2$ подобны. (Или $AX'B_2$ и $A B_1'B_2'$) Из подобия: $\frac{AX}{BY} = \frac{B_1A}{B_1B_2}$. $AX = h_A - h_1$. $BY = h_2 - h_1$. $\frac{h_A - h_1}{h_2 - h_1} = \frac{B_1A}{B_1B_2}$. $B_1A = 7k$, $B_1B_2 = 4k$. $\frac{h_A - h_1}{h_2 - h_1} = \frac{7k}{4k} = \frac{7}{4}$. $h_A - h_1 = \frac{7}{4}(h_2 - h_1)$. $h_A = h_1 + \frac{7}{4}(h_2 - h_1)$. $h_A = 75 + \frac{7}{4}(45 - 75)$. $h_A = 75 + \frac{7}{4}(-30)$. $h_A = 75 - \frac{210}{4}$. $h_A = 75 - 52.5$. $h_A = 22.5$. **Ответ:** 1. Если точка $A$ делит отрезок $B_1B_2$ внутренне: **54 см** 2. Если точка $A$ делит отрезок $B_1B_2$ внешне: **22.5 см**