4. Дан треугольник ABC, где угол C = 90°. Внешний угол при вершине B равен 150°, сторона AC равна 10 см. Чему равна длина гипотенузы?

4. 1. Найдем внутренний угол B треугольника ABC. Внутренний и внешний углы при одной вершине всегда дают в сумме 180°. $$\angle B = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$$ 2. У нас есть прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°), угол B равен 30°, и сторона AC (катет, противолежащий углу B) равна 10 см. 3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, гипотенуза AB в два раза больше катета AC. $$AB = 2 \cdot AC$$ $$AB = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$$ **Ответ: 20 см** 5. 1. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°. Значит, другой острый угол равен: $$90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ 2. Катет, лежащий напротив угла в 30°, является меньшим катетом. Обозначим его как $a$. 3. Гипотенуза $c$ в прямоугольном треугольнике с углом в 30° в два раза больше меньшего катета: $$c = 2a$$ 4. По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 48 см: $$c + a = 48$$ 5. Подставим $c = 2a$ в уравнение: $$2a + a = 48$$ $$3a = 48$$ $$a = \frac{48}{3}$$ $$a = 16 \text{ см}$$ 6. Теперь найдем гипотенузу $c$: $$c = 2a = 2 \cdot 16 \text{ см} = 32 \text{ см}$$ **Ответ: 32 см**