Найти большее основание, если средняя линия OP трапеции MPTK с основаниями PT и MK равна 32 см, а меньшее основание равно 18 см

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание, $m$ — средняя линия. $$m = \frac{a + b}{2}$$ Известно: $m = 32$ см, $b = 18$ см. $$32 = \frac{a + 18}{2}$$ $$64 = a + 18$$ $$a = 64 - 18$$ $$a = 46$$ см. **Ответ: 46 см** 2. Точки A, B, C являются серединами сторон треугольника PTM. Значит, треугольник ABC является серединным треугольником для PTM. Стороны серединного треугольника равны половине соответствующих сторон исходного треугольника. $AB = \frac{1}{2}TM = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см $BC = \frac{1}{2}MP = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см $AC = \frac{1}{2}PT = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см Периметр треугольника ABC равен сумме его сторон: $$P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 10 + 6 = 24$$ см. **Ответ: 24 см** 3. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы ВТ и СР пересекаются в точке М. Значит, $ВМ : МТ = 2 : 1$ и $СМ : МР = 2 : 1$. Дано $ВТ = 27$ см и $СМ = 14$ см. Так как $ВМ : МТ = 2 : 1$, то $ВТ = ВМ + МТ = 2МТ + МТ = 3МТ$. $27 = 3МТ \implies МТ = 27 / 3 = 9$ см. Так как $СМ : МР = 2 : 1$ и $СМ = 14$ см, то $МР = СМ / 2 = 14 / 2 = 7$ см. Тогда $СР = СМ + МР = 14 + 7 = 21$ см. **Ответ: ТМ = 9 см, СР = 21 см** 4. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы AP и BK пересекаются в точке O. Значит, $AO : OP = 2 : 1$ и $BO : OK = 2 : 1$. Тогда $AP = AO + OP = AO + \frac{1}{2}AO = \frac{3}{2}AO$, откуда $AO = \frac{2}{3}AP$. И $BK = BO + OK = BO + \frac{1}{2}BO = \frac{3}{2}BO$, откуда $BO = \frac{2}{3}BK$. Даны два уравнения: 1) $AP + BK = 102$ 2) $AP - BK = 6$ Сложим два уравнения: $(AP + BK) + (AP - BK) = 102 + 6$ $2AP = 108$ $AP = 54$ см Вычтем второе уравнение из первого: $(AP + BK) - (AP - BK) = 102 - 6$ $2BK = 96$ $BK = 48$ см Теперь найдем $AO$ и $KO$: $AO = \frac{2}{3}AP = \frac{2}{3} \cdot 54 = 2 \cdot 18 = 36$ см $KO = \frac{1}{3}BK = \frac{1}{3} \cdot 48 = 16$ см **Ответ: AO = 36 см, KO = 16 см**