Решите уравнение, используя введение новой переменной: $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24$

а) Решим уравнение $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24$ Введём новую переменную $y = x^2 + 6x$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 5y = 24$$ Перенесём 24 в левую часть: $$y^2 - 5y - 24 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдём его корни с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$ $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$y_1 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ Теперь вернёмся к замене $y = x^2 + 6x$ и решим два уравнения: 1) $x^2 + 6x = -3$ $$x^2 + 6x + 3 = 0$$ Найдём корни этого уравнения: $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2}$$ $$x_1 = -3 - \sqrt{6}$$ $$x_2 = -3 + \sqrt{6}$$ 2) $x^2 + 6x = 8$ $$x^2 + 6x - 8 = 0$$ Найдём корни этого уравнения: $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2}$$ $$x_3 = -3 - \sqrt{17}$$ $$x_4 = -3 + \sqrt{17}$$ **Ответ:** $-3 - \sqrt{6}$; $-3 + \sqrt{6}$; $-3 - \sqrt{17}$; $-3 + \sqrt{17}$