Дан пространственный четырехугольник ABCD, М и N - середины сторон АВ и ВС соответственно; Е ∈ CD, K ∈ DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2. а) Выполните рисунок к задаче.

а) :::div .chart-container @chart-1::: б) Чтобы доказать, что MNEK — трапеция, нужно показать, что две её стороны параллельны. Давай посмотрим на отрезки MN и EK. 1. **Рассмотрим треугольник ABC.** Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. По свойству средней линии треугольника, отрезок MN параллелен стороне AC и равен её половине. $$MN \parallel AC$$ $$MN = \frac{1}{2} AC$$ 2. **Рассмотрим треугольник ADC.** Точки K и E лежат на сторонах DA и CD соответственно. Из условия известно, что DK : KA = 1 : 2 и DE : EC = 1 : 2. Это значит, что точка K делит сторону DA в отношении 1:2 (считая от D), и точка E делит сторону CD в отношении 1:2 (считая от D). Тогда по теореме, обратной теореме Фалеса (или обобщённой теореме Фалеса), отрезок KE параллелен стороне AC. $$KE \parallel AC$$ 3. **Сравним MN и KE.** Поскольку $MN \parallel AC$ и $KE \parallel AC$, то отрезки MN и KE параллельны друг другу. $$MN \parallel KE$$ Так как две стороны четырёхугольника MNEK (MN и KE) параллельны, а две другие стороны (ME и NK) не являются параллельными (иначе это был бы параллелограмм, что не следует из условий), то MNEK является трапецией. **Четырехугольник MNEK является трапецией, так как $MN \parallel KE$.**