Решите уравнение: $$\frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3}$$

Решим уравнение: $$\frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3}$$ Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$ Запишем уравнение с учетом разложенного знаменателя: $$\frac{6}{(x - 1)(x - 3)} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3}$$ Обратим внимание, что $1 - x = -(x - 1)$. Перепишем вторую дробь: $$\frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$$ Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю: $$(x - 1)(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq 3$$ $$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$ $$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 3$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 3)$. Для этого домножим вторую дробь на $(x - 3)$ и третью дробь на $(x - 1)$: $$\frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{(13 - 7x)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые и не равны нулю (из ОДЗ), можем приравнять числители: $$6 + (13 - 7x)(x - 3) = 3(x - 1)$$ Раскроем скобки: $$6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3$$ Приведем подобные слагаемые: $$-7x^2 + (13x + 21x) + (6 - 39) = 3x - 3$$ $$-7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3$$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$-7x^2 + 34x - 33 - 3x + 3 = 0$$ $$-7x^2 + (34x - 3x) + (-33 + 3) = 0$$ $$-7x^2 + 31x - 30 = 0$$ Умножим все уравнение на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным: $$7x^2 - 31x + 30 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a = 7$, $b = -31$, $c = 30$. $$D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30$$ $$D = 961 - 840$$ $$D = 121$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 7}$$ $$x_1 = \frac{31 + 11}{14}$$ $$x_1 = \frac{42}{14}$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 7}$$ $$x_2 = \frac{31 - 11}{14}$$ $$x_2 = \frac{20}{14}$$ $$x_2 = \frac{10}{7}$$ Проверим полученные корни по ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 3$). Корень $x_1 = 3$ не подходит, так как нарушает ОДЗ. Корень $x_2 = \frac{10}{7}$ подходит. **Ответ:** $\frac{10}{7}$